Worum geht es beim Aufstellen von Funktionsgleichungen?
Eine typische Aufgabe ist es, eine Funktion zu finden, die durch bestimmte Punkte geht. In der Praxis wird dies natürlich etwas komplexer modelliert als hier, wir können jedoch die grundlegenden Prinzipien auf viele Beispiele anwenden. Häufig werden diese Aufgaben Steckbriefaufgaben genannt, ich verwende hier den Begriff Rekonstruktionsaufgabe.
Um eine passende Funktionsgleichung zu finden benötigen wir zunächst Informationen. Die wohl wichtigste ist, um welche Art von Funktion es sich handelt. Zunächst werden wir hier in der Regel mit ganzrationalen bzw. Polynomfunktionen arbeiten (z.B. $f(x) = ax^2 + bx + c$). Neben dieser Grundannahme sind zunächst entweder nur der Funktionsgraph oder einzelne Punkte des Graphen gegeben. Ausgehend von diesen Randbedingungen wird die passende Funktionsgleichung bestimmt.
Allgemeine Informationen zu Steckbriefaufgaben findest du hier.
Um eine passende Funktionsgleichung zu finden benötigen wir zunächst Informationen. Die wohl wichtigste ist, um welche Art von Funktion es sich handelt. Zunächst werden wir hier in der Regel mit ganzrationalen bzw. Polynomfunktionen arbeiten (z.B. $f(x) = ax^2 + bx + c$). Neben dieser Grundannahme sind zunächst entweder nur der Funktionsgraph oder einzelne Punkte des Graphen gegeben. Ausgehend von diesen Randbedingungen wird die passende Funktionsgleichung bestimmt.
Allgemeine Informationen zu Steckbriefaufgaben findest du hier.
Einführungsbeispiel - Punkte gegeben
Material zum Video
Aufgabe
Eine Parabel hat eine Nullstelle bei $x_0 = 4$ sowie ein lokales Extremum in $(2|-4)$. Berechne die zugehörige Funktionsgleichung.
Hinweis zur Matrixschreibweise
Die Matrixschreibweise hilft bei der Lösung linearer Gleichungssysteme, da sie diese verwinfacht darstellt. Es ist allerdings eine weitere Schreibweise, die gelernt werden muss, daher verzichte ich im Unterricht zunächst darauf.
Transkript
Rechnung in Matrixschreibweise
Ablauf einer Rekonstruktionsaufgabe
Eine Rekonstruktionsaufgabe kann meist durch folgende Schritte bearbeitet werden:
- Allgemeine Funktionsgleichung: Anhand der gegebenen Informationen lässt sich ablesen, welche Art von Funktion allgemein gesucht ist. Im obigen Einführungsbeispiel ist es eine Parabel, somit ist die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = ax^2 + bx + c$. Wenn hier eine Funktion dritten Grades gesucht wäre, wäre die allgemeine Funktionsgleichung also $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ und so weiter.
- Randbedingungen in Gleichungen abbilden: Hier kommen die gegebenen Punkte ins Spiel. Eine Nullstelle bei $x_0 = 4$ gibt uns eine Information: $\Rightarrow f(4) = 0$. Die Angabe des Extremums in $(2|-4)$ gibt ins zwei Informationen. Einmal geht die Funktion durch den Punkt $\Rightarrow f(2) = -4$, außerdem ist die Ableitung der Funktion in dem Punkt Null $\Rightarrow f'(2) = 0$.
- Gleichungssystem aufstellen und lösen: Nachdem das LGS aufgestellt ist, wird es systematisch gelöst. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten. Systematisch bietet sich hier der Gaußalgorithmus an, je nach Aufgabe können aber auch weniger systematische Ansätze schneller zu einer Lösung führen.
- Funktionsgleichung angeben: Zum Ende einer Rekonstruktionsaufgabe sollte immer die resultierende Funktionsgleichung angegeben werden. In unserem Beispiel: $f(x)=x^2-4x$
Übungen
- Aufgaben auf serlo.org Nr. 1 - 3 a)
Übungen
- S. 183 Nr. 2, 8