Anwendung der Binomialverteilung

Punktwahrscheinlichkeiten

Was sind Punktwahrscheinlichkeiten und wie werden sie berechnet?

Sie haben Punktwahrscheinlichkeiten bereits vielfach verwendet und zwar im Bereich der Bernoulli-Ketten. Als Punktwahrscheinlichkeit bezeichnet man z.B. die Wahrscheinlichkeit aus dem Einführungsbeispiel:

4 Personen spielen "Mensch ärgere dich nicht". Jeder darf nur einmal würfeln, wer eine 6 würfelt dar anfangen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Personen in der ersten Runde anfangen dürfen?

Hier gilt:

\begin{align} P(X=2) &= B(n; p; k) \\ &= B(4; \frac{1}{6} ; 2)\\ &\approx 0,1157 \end{align}

Die hier bestimmte Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir ans Punktwahrscheinlichkeit, da sie sich lediglich auf ein $k$ und somit auf einen Punkt bezieht. Im Bereich der Analysis bezeichnet das $k$ hier einen Punkt auf der x-Achse.

Folgendes Video erläutert hier die Bedeutung der Binomialverteilung.

Punktwahrscheinlichkeit an der Binomialverteilung

Material zum Video

Intervallwahrscheinlichkeiten

Was sind Intervallwahrscheinlichkeiten?

Intervallwahrscheinlichkeiten haben Sie ebenfalls bereits berechnet. Bezogen auf das oben angegebene Einführungsbeispiel zu "Mensch ärgere dich nicht" könnten wir hier beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür betrachten, dass mindestens 2 Spieler in der ersten Runde beginnen dürfen. Die bisherige Strategie war es hier die Intervallwahrscheinlichkeit durch Punktwahrscheinlichkeiten zu bestimmen:

\begin{align} P(X \leq 2) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\ &= B(4; \frac{1}{6}; 0) + B(4; \frac{1}{6}; 1) + B(4; \frac{1}{6}; 2) \\ &\approx 0,4823 + 0,3858 + 0,1157 \\ &= 0,9565 \end{align}

Da wir nun jedoch die Binomialverteilung und ihre Eigenschaften kennengelernt haben, stehen uns nun elegantere Mittel der Berechnung und Betrachtung zur Verfügung. Diese werden im Folgenden Video erläutert.

Intervallwahrscheinlichkeit an der Binomialverteilung

Material zum Video

Kumulierte Binomialverteilung $P(x \leq k)$

Material zum Video¹⁾

Aufgabe

Eine Münze wird 100-mal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 40-mal Kopf geworfen wird.

Material

Berechnung kumulierter Wahrscheinlichkeiten im Fall $P(x \leq k)$

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X \leq k)$ für die Zufallsvariable $X$ mit den Kenngrößen $n$, $p$ lässt sich mit der Funktion $F(n; p; k)$ bestimmen. Hierfür können entweder Taschenrechner oder Tabellen verwendet werden.

Binomialverteilungen mit dem TR (fx-991DEX)

Übungsaufgabe

S. 130 Nr. 2 (Bestimmung mit kummulierter Wahrscheinlichkeit)

$F(10; \frac{1}{2}; 3) \approx 0,1719$
$F(3; \frac{1}{6}; 2) \approx 0,9954$
$F(10; \frac{1}{2} ; 8)\approx 0,9893$

Exkurs: Wahrscheinlichkeiten an Tabellen ablesen

Die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung kann auch an Tabellen abgelesen werden. Diese sehen z.B. wie folgt aus:

Bevor die Werte für Binomialverteilungen komfortabel mit dem Taschenrechner berechnet werden konnten waren diese Tabellen sehr wichtig, um bestimmte Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können. Nebenstehend finden Sie eine kurze Beschreibung, wie diese Tabellen genutzt werden können.

Heutzutage werden die Tabellen nur noch selten genutzt, da der Taschenrechner hier schneller und präziser funktioniert.

Exkurs: Binomialverteilung - Tabelle

Intervallwahrscheinlichkeit $P(X \geq k)$

Material zum Video - rechtsseitige Intervallwahrscheinlichkeit

Aufgabe

Ein Glücksrad mit drei gleichgroßen Feldern in den Farben gelb, rot und grün wird 10-mal gedreht. Man gewinnt, wenn mindestens 4-mal die gewählte Farbe erdreht wird.

Wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?
Der Einsatz beträgt 3€, im Gewinnfall werden 6€ ausgezahlt. Lohnt sich das Spiel?

Material

Intervallwahrscheinlichkeit $P(X \geq k)$

\begin{align} P(X \geq k) &= 1 - P(X \leq k-1) \\ &= 1- F(n; p; k-1) \end{align}

Übungsaufgabe

S. 138 Nr. 14

Intervallwahrscheinlichkeit $P(a \leq X \leq b)$

Material zum Video - zweiseitige Intervallwahrscheinlichkeit

Aufgabe

Eine Firma stellt Pralinen her. Um es kosteneffizient zu halten wird ein Roboter eingesetzt, um die Pralinen mit Nüssen zu füllen. Dies gelingt in $80\%$ der Fälle. Die Pralinen werden zu je 50 Stück an einen Tester gegeben, der die fehlerhaften Pralinen aussortiert. Der Tester gibt an, mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $50\%$ zwischen 38 und 42 gute Prlinen pro Charge vorzufinden. Überprüfen Sie, ob dies stimmen kann.

Material

Intervallwahrscheinlichkeit $P(a \leq X \leq b)$

\begin{align} P(a\leq X \leq b) &= P(X \leq b) - P(X\leq a - 1) \\ &= F(n; p; b) - F(n; p; a - 1) \end{align}

Übungsaufgaben

S. 139 Nr. 15 - 17

Hinweis: Fehler im Lösungsbuch bei Aufgabe 15 a): $P(X \geq 6) = 0,6128$

Übungsaufgaben

S. 141 ff.

Lösungen (PDF)

¹⁾

Bild von openmoji.org unter CC BY-SA 4.0, Liz Bravo