Lies im Buch das Beispiel auf S. 207 (ohne Satz IV.3). Die Rechnung im Buch ist allerdings etwas kompliziert aufgeschrieben, einfacher ist diese hier:
Berechnung der Halbwertszeit:
$$\begin{array}{rcl} f(t) &=& \frac{1}{2}f(0) \\ 100\cdot 0,917^t &=& 50 \\ 0,917^t &=& 0,5 \\ t &=& \log_{0,917}{(0,5)} \\ t &\approx& 8 \end{array}$$
Bemerkung: $\frac{1}{2}f(0)$ steht hier für die Hälfte des Anfangsbestands, also die Hälfte von $100MBq$. Die Gleichung $f(t)=\frac{1}{2}f(0)$ bedeutet also, dass wir den Zeitpunkt $t$ herausfinden sollen, an dem nur noch $50MBq$ übrig sind.
Lies im Buch das Beispiel auf S. 208 (ohne Satz IV.4). Auch hier wieder eine einfachere Version der Rechnung:
Berechnung der Verdoppelungszeit:
$$\begin{array}{rcl} f(t) &=& 2f(0) \\ 300\cdot1,01^t &=& 600 \\ 1,01^t &=& 2 \\ t &=& \log_{1,01}{(2)} \\ t &\approx& 70 \end{array}$$
Bemerkung: $2f(0)$ steht hier für das Doppelte des Anfangsbestands, also das Doppelte von $300$ Millionen Einwohnern. Die Gleichung $f(t)=2f(0)$ bedeutet also, dass wir den Zeitpunkt $t$ herausfinden sollen, an dem $600$ Millionen Menschen in den USA leben.
Hat man eine Funktion $f(t)=c\cdot a^t$ mit exponentiellem Wachstum ($a > 1$) bzw. Zerfall ($0 < a < 1$), so lässt sich die die Verdoppelungszeit $T_2$ bzw. die Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ mit der Formel $$T_n=\log_{a}(n)$$ berechnen.
- Bearbeite im Buch S. 207 Nr 1 und S. 208 Nr 2.
- Lies im Buch das Beispiel auf S. 209 und bearbeite anschließend Übung 3.
- Lies im Buch das Beispiel auf S. 210 und bearbeite anschließend Übung 4.
- Lies im Buch das Beispiel auf S. 212 und bearbeite anschließend Übung 6.
- Hier wieder eine einfachere Rechnung für das Beispiel Aufgabenteil d):
$$\begin{array}{rcl} P(t) &=& J(t) \\ 1500\cdot 1,03^t &=& 1000\cdot1,05^t \\ \frac{1500}{1000}&=&\frac{1,05^t}{1,03^t}\\ 1,5 &=&\left(\frac{1,05}{1,03}\right)^t\\ \log_{\frac{1,05}{1,03}}(1,5)&=&t\\ 21,08 &\approx& t \end{array}$$
