Der Logarithmus (Umkehrung des Potenzierens)

Was ist der Logarithmus?

Die meisten Rechenverfahren sind umkehrbar. Hat man z.B. die Gleichung $x+5=7$, so gehört die Umkehrung (durch eine Äquivalenzumformung) $x=7-5$ dazu. Gleiches gilt für $x\cdot 4,5=45$ und die Umkehrung $x=\frac{45}{4,5}$ sowie für $x^3=8$ und die Umkehrung¹⁾ $x=\sqrt[3]{8}$. Die Umkehrung benötigt beim Auflösen von Gleichungen, indem die entsprechenden Äquivalenzumformungen durchgeführt werden.

Rechenoperation	Umkehrung
Addition	Subtraktion
Subtraktion	Addition
Multiplikation	Division
Division	Multiplikation
Potenzieren (x als Basis)	Wurzelziehen ²⁾
Wurzelziehen	Potenzieren (x als Basis) ³⁾

Die Umkehrung von Exponentialfunktionen nennt man Logarithmus. So hat die Gleichung $10^x=1000$ die Umkehrung $x=\log_{10}({1000})$.

Die Umkehrung der Gleichung $a^x=b$ mit wird mit Hilfe des Logarithmus $x=\log_{a}(b)$ berechnet:

$$x=log_a(b) \iff b=a^x$$

Umgangssprachlich kann man sagen, dass der Logarithmus das Potenzieren "rückgänig macht" und genauso umgekehrt, dass das Potenzieren den Logarithmus "rückgängig macht".

Logarithmus als Schreibweise

Häufige Abkürzungen und andere Schreibweisen

Für häufig genutzte Logarithmen gibt es Abkürzungen:

Ist die Basis $10$, spricht man vom Zehnerlogarithmus und man schreibt $\lg(1000)=3$ statt $\log_{10}(1000)=3$.
Ist die Basis $2$, spricht man vom Zweierlogarithmus⁴⁾ und schreibt oft $\operatorname{ld}(8)=3$ statt $\log_2(8)=3$.
Außerdem gibt es noch den natürlichen Logarithmus $\ln$⁵⁾. Diesen lernen wir im nächsten Kapitel kennen.
Oft lässt man auch die Klammern weg: $\lg 10000=4$ bedeutet eigentlich $\lg(10000)=4$, $\operatorname{ld} 16=4$ bedeutet eigentlich $\operatorname{ld}(16)=4$ und $\log_3 243 = 5$ bedeutet eigentlich $log_3(243)=5$.

Wie für viele andere Rechenoperationen gibt es auch für das Rechnen mit Logarithmen Gesetze:

$\log_a(u\cdot v) = \log_a(u)+\log_a(v)$
$\log_a(\frac{u}{v})=\log_a(u)-\log_a(v)$
$\log_a(u^r)=r\cdot\log_a(u)$
$\log_a(a^x)=a^{\log_a(x)}=x$

Taschenrechner

Auf vielen alten Taschenrechnern gibt es keine Taste für den Logarithmus $\log_a(b)$. Dann muss man mit der folgenden Regel umrechnen. Hierbei steht dann $\log$ für den Zehnerlogarithmus. $$log_a(b)=\frac{\log(b)}{\log(a)}$$

Lehrer Schmidt: Der Logarithmus

Daniel Jung: Logarithmus und -gesetze

Mathe mit Rick: Logarithmengesetzen

Beispiel 1: Einfache Exponentialgleichungen

Aus der vorheringen Lektion kennen wir noch die Exponentialgleichung $3\cdot 2^x=15$. Diese haben wir bis jetzt nur mit Näherungsverfahren und mit Geogebra gelöst. Schauen wir uns die entsprechende Lösung mit dem Logarithmus einmal näher an:

$$\begin{array}{lrll} (1)&3\cdot 2^x &= 15 &|:3 \\ (2)&2^x &= 5 &|\log_2(...) \\ (3)&x &= \log_2(5) \\ (4)&x &\approx 2,32 \end{array}$$

Im Schritt (1) beseitigen wir den Vorfaktor $3$ durch eine Äquivalenzumformung.
Im Schritt (2) kommt dann der Logarithmus zum Zuge, da dieser das Potenzieren "rückgängig macht". Da $2$ die Basis von $2^x$ ist, wenden wir den $\log_2$ an⁶⁾. Auf der linken Seite entsteht so $log_2(2^x)$, was mit dem 4. Gesetz von oben $x$ entspricht.
Im Schritt (3) rechnen wir dann mit dem Taschenrechner den Logarithmus aus, um auf das Ergebnis in Schritt (4) zu kommen. Haben wir einen modernen Taschenrechner, können wir $\log_{2}(5)$ direkt eingeben, andernfalls müssen wir mit der Umrechnungsregel oben arbeiten und $\frac{\log (5)}{\log (2)}$ eingeben.

Beispiel 2: Einfache Logarithmengleichungen

Löse die Logarithmengleichung $5+2\cdot\log_{10}(2x-4)=10$

$$\begin{array}{lrll} (1)&5+2\cdot\log_{10}(2x-4) &= 10 &|-5 \\ (2)&2\cdot\log_{10}(2x-4) &= 5 &|:2 \\ (3)&\log_{10}(2x-4) &= 2,5 &|10^{(...)} \\ (4)&2x-4 &= 10^{2,5} &|+4 \\ (5)&2x &= 10^{2,5}+4 &|:2 \\ (6)&x &= \frac{10^{2,5}+4}{2} \\ (7)&x &\approx 160,11 \end{array}$$

In Schritt (1) und (2) wenden wir bekannte Äquivalenzumformungen an.
Im Schritt (3) helfen wir uns mit der Tatsache, dass wir den Logarithmus durch Potenzieren "rückgängig machen" können. Auf der linken Seite entsteht so $10^{\log_{10}(2x-4)}$, was mit dem 4. Gesetz von oben $2x-4$ entspricht.
In Schritt (4), (5) und (6) rechnen wir mit "normalen" Äquivalenzumformungen und dem Taschenrechner weiter.

Aufgabe 1

Vereinfache die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze:

a) $\log(4) + \log(25)$

b) $\log(2500) - 2\cdot\log(5)$

c) $4\cdot\log(5) + \log(2^4)$

Aufgabe 2

Löse die folgenden Exponentialgleichungen mit Hilfe der Logarithmusgesetze:

a) $3\cdot4^x=96$

b) $1000\cdot 5^{x+2}=8$

c) $3^{4^x}=6561$

Aufgabe 3

Löse die folgenden Logarithmengleichungen mit Hilfe der Logarithmusgesetze:

a) $10\cdot\log_{10}(x)=5$

b) $\log_{10}(4x)=2$

c) $\log_{10}(x-2)+\log_{10}(x-11)=1$

Lösungen

Aufgabe 1: Lösung (PDF)
Aufgabe 2: Lösung (PDF)
Aufgabe 3: Lösung (PDF)

¹⁾

Nicht alle Potenzen sind umkehrbar, bei manchen (z.B. $x^2$) gehen Lösungen verloren!

²⁾

Vorsicht! Hier können Lösungen verloren gehen!

³⁾

Vorsicht! Hier können Lösungen hinzukommen!

⁴⁾

$\operatorname{ld}$ steht für "Logarithmus Dualis"

⁵⁾

$\ln$ steht für "Logarithmus Naturalis"

⁶⁾

Alternativ hätten wir auch $\operatorname{ld}$ statt $\log_2$ schreiben können, hierfür haben allerdings die meisten Taschenrechner keine extra Taste.