Exponentialgleichungen
Gleichungen der Form $b^x=c$ nennt man Exponentialgleichungen. Diese kann man auf unterschiedliche Arten Lösen.
Lösen von Exponentialgleichungen mit Testeinsetzungen
Exponentialgleichungen können angenähert mit Testeinsetzungen bestimmt werden. Als Beispiel nehmen wir hier die Gleichung $$2\cdot 3^x=25$$
Wir betrachten die Funktion $f(x)=2\cdot 3^x$ (linke Seite der Gleichung) und bilden die folgende Tabelle:
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| 2 | 18 |
| 3 | 54 |
Da $25$ zwischen $18$ und $54$ liegt, muss der gesuchte Wert für $x$ zwischen $2$ und $3$ liegen. Das können wir noch genauer herausfinden, indem wir die folgende Tabelle aufstellen:
| $x$ | $f(x)$ | |
|---|---|---|
| 2,1 | 20,1 | Zu niedrig, also $x$ größer machen. |
| 2,2 | 22,42 | Zu niedrig, also $x$ größer machen. |
| 2,3 | 25,03 | Passt schon recht gut, das können wir so lassen. |
Daraus können wir ablesen, dass der gesuchte Wert für $x$ ungefähr bei 2,3 liegt. Also gilt
$$x\approx 2,3$$
Testeinsetzung
Lösen von Exponentialgleichungen mit Taschenrechnern / Computerprogrammen
Die gleiche Exponentialgleichung von oben können wir auch als Schnittpunktproblem der Funktionen $f(x)=2 \cdot 3^x$ und $g(x)=25$ auffassen.
Diese lassen sich z.B. mit Geogebra lösen:
Übungen zur Testeinsetzung
Bearbeite S. 198 Nr. 4 und 5
Lösungen