- Phase: Stammgruppe I:
- Schafft euch einen Überblick über den Ablauf (diese Info-Box).
- Schafft euch einen Überblick über die Aufgabenstellung (Aufgaben Expertengruppen A, B und C)
- Klärt allgemeine Fragen zum Ablauf.
- Phase: Expertengruppen:
- Bearbeitet eure Aufgabe (Aufgabe Expertengruppen A, B oder C)
- Teilt euch die Berechnung der verschiedenen Differentialquotienten auf!
- Bereitet eure Ergebnisse so vor, dass jeder Experte dazu in der Lage ist, die Ergebnisse dieser Phase seiner Stammgruppe zu präsentieren.
- Phase: Stammgruppe II:
- Die verschiedenen Expertengruppen stellen ihre Ergebnisse vor. Notiert euch die gemeinsamen Ergebnisse (Vorlage wird ausgeteilt).
- Erarbeitet gemeinsam eine Hypothese, wie das Ableiten von Funktionen schneller gehen könnte.
Zeichnet die Funktion $f(x)=x$ in ein Koordinatensystem ein. (X-Achse von -2,5 bis 2,5 - Y-Achse von -2 bis 2)
2. Teil - Differentialquotienten bilden
Bestimmt die Steigung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten für:
| $x$ | $-1,5$ | $-1$ | $-0,5$ | $0$ | $ 0,5$ | $1$ | $1,5$ |
| Steigung/Differenzialquotient |
3. Teil - Steigungen eintragen
Tragt die Punkte aus dem 2. Teil in das Koordinatensystem ein. Verbindet die Punkte zur Ableitungsfunktion. Welche Funktionsgleichung könnte diese haben?
Tipp: $f(x)=a$ kann auch als $f(x)=a\cdot x^0$ geschrieben werden.
4. Teil - Vermutung aufstellen
Stellt eine Vermutung auf, wie die Ableitungsfunktion von der Ursprungs-Funktion abhängt.
Zeichnet die Funktion $f(x)=x^2$ in ein Koordinatensystem ein. (X-Achse von -2,5 bis 2,5 - Y-Achse von -4 bis 4)
2. Teil - Differentialquotienten bilden
Bestimmt die Steigung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten für:
| $x$ | $-1,5$ | $-1$ | $-0,5$ | $0$ | $ 0,5$ | $1$ | $1,5$ |
| Steigung/Differenzialquotient |
3. Teil - Steigungen eintragen
Tragt die Punkte aus dem 2. Teil in das Koordinatensystem ein. Verbindet die Punkte zur Ableitungsfunktion. Welche Funktionsgleichung könnte diese haben?
4. Teil - Vermutung aufstellen
Stellt eine Vermutung auf, wie die Ableitungsfunktion von der Ursprungs-Funktion abhängt.
Zeichnet die Funktion $f(x)=x^3$ in ein Koordinatensystem ein. (X-Achse von -2,5 bis 2,5 - Y-Achse von -4 bis 4)
2. Teil - Differentialquotienten bilden
Bestimmt die Steigung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten für:
| $x$ | $-1,5$ | $-1$ | $-0,5$ | $0$ | $ 0,5$ | $1$ | $1,5$ |
| Steigung/Differenzialquotient |
Tipp: $(x_0 +h) = x_0^3 + 3 x_0^2 \cdot h + 3 x_0^1 \cdot h^2 + h^3$
3. Teil - Steigungen eintragen
Tragt die Punkte aus dem 2. Teil in das Koordinatensystem ein. Verbindet die Punkte zur Ableitungsfunktion. Welche Funktionsgleichung könnte diese haben?
4. Teil - Vermutung aufstellen
Stellt eine Vermutung auf, wie die Ableitungsfunktion von der Ursprungs-Funktion abhängt.
1. Teil - Präsentieren
Präsentiert nacheinander eure Ergebnisse aus den Expertengruppen. Notiert euch die Funktionen und die zugehörigen Ableitungsfunktionen. Was fällt euch auf?
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Notizen |
|---|---|---|
| $x$ | ||
| $x^2$ | ||
| $x^3$ |
2. Teil - Hypothesen
Sammelt eure Vermutungen aus den Expertengruppen und stellt eine gemeinsame Hypothese (begründete Vermutung) für die folgende Frage auf:
Gibt es eine Regelmäßigkeit beim Ableiten von Funktionen der Form $f(x)=x^n$?
Notiert eine Vermutung und dazu eine Begründung.
Hilfreiche Formulierungen hier könnten sein:
- konstanten Funktion: $f(x) = a$
- lineare Funktion: $f(x) = a \cdot x$
- quadratische Funktion: $f(x) = a \cdot x^2$
- kubische Funktion: $f(x) = a \cdot x^3$
- Funktion vom Grad $n$: $f(x) = a \cdot x^n$
- bilden der Ableitung: $f(x) \rightarrow f'(x)$
3. Teil - Hypothese überprüfen
Überprüft eure Hypothese indem ihr die Ableitung von $f(x) = x^4$ mit von GeoGebra bilden lasst.
4. Teil - Hypothese verbessern
Falls nötig, verbessert eure Hypothese.
Von der Ableitung an einem bestimmten Punkt ist es nur ein kleiner Schritt zur Ableitung auf dem ganzen Definitionsbereich . Denn alle "normalen" Funktionen (die in der Schule behandelt werden) besitzen für alle $𝑥 \in D$ den gleichen Differenzenquotienten in Abhängigkeit von $x$. In dem Fall kann man die Ableitungen mit Hilfe des Differentialquotienten bestimmen.
Die Ableitungsfunktion gibt zu jedem $x$ die Steigung der Ursprungsfunktion an.
In den oben genannten Beispielen ergeben sich hier folgende Ableitungsfunktionen:
| Ursprungsfunktion | Ableitungsfunktion |
|---|---|
| $f(x) = x$ | $f'(x) = 1$ |
| $f(x) = x^2$ | $f'(x) = 2x$ |
| $f(x) = x^3$ | $f'(x) = 3x^2$ |
Dieser Zusammenhang wird in einer weiteren Lektion genauer betrachtet.