Im Einführungsbeispiel hast du versucht die Steigung der Funktion $f(x) = \frac{1}{10}x^2$ zu bestimmen. Dabei hast du festgestellt, dass man die Funktion an jeder Stelle durch eine lineare Funktion annhähern kann. Dieses Verhalten wollen wir nun noch einmal genauer betrachten. Im Anschluss werden wir diese Beobachtung formalisieren und eine Berechnung der Steigung durchführen.
Im nebenstehenden Applet kannst du die Funktion $f(x) = \frac{1}{10}x^2$ sehen. Wir haben bisher festgestellt, dass die Steigung irgendwo zwischen $4$ und $6$ den Wert $1$ übersteigt. Wir wählen für die weitere Betrachtung also die "goldene Mitte" und untersuchen die Funktion an der Stelle $x_0 = 5$ genauer. Um dies zu tun schauen wir tatsächlich sehr genau auf die Stelle der Funktion. Gehe dafür wie folgt vor:
- Zoome an der Stelle $x_0 = 5$ in die Funktion. Verwende dazu das hier bereitgestellte GeoGebra-Applet oder die App auf deinem Handy. Was stellst du fest, wenn du immer weiter hereinzoomst?
- Ließ die Steigung der Funktion an der Stelle $x_0 = 5$ ab. Hier kannst du das klassische Steigungsdreieck der linearen Funktionen verwenden.
Untersuche folgende Funktionen:
- $f(x) = \sqrt{x^2}$
- $g(x) = 100x^2$
- $h(x) = x^2 - 4,3x - 0,1 \cdot |x-2| + 16$
Achte hier darauf, ob du an alle Stellen durch eine Gerade annähern kannst.
Teilaufgabe 1
Teilaufgabe 2
Teilaufgabe 3
Transkript Video
Transkript Video:
Die Ableitung ist zunächst nur für einen Punkt $(x_0∣f(x_0))$ auf dem Graphen einer Funktion $f(x)$ bzw. für eine Stelle $x_0$ definiert. Sie ist gegeben durch
$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ oder alternativ $\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h}$.
Anschaulich erhält man durch diesen Differentialquotient die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt $x_0$. Die Idee bei beiden Defintionen ist, dass man die Tangente durch Sekanten annähert, indem man den x-Wert des zweiten Punktes immer näher an $x_0$ wählt.
Wir haben oben gesehen, dass es Funkionen gibt, die sich an manchen Stellen nicht durch eine Gerade annähern lassen. Somit lässt sich an diesen Stellen auch keine Tangente an die Funktion anlegen. Eine Funktion ist in einem Punkt $x_0$ nur dann differenzierbar, wenn man die Funktion in diesem Punkt durch eine Gerade annähern bzw. eine Tangente anlegen kann.
- S. 86 Nr. 1
- S. 87 Nr. 2, 3
- S. 103 Nr. 11