Grenzwerte und Definitionslücken

Grenzwerte für $x \rightarrow \pm\infty$

Grenzwerte von Funktionen

Für die Untersuchung von Funktionen ist es manchmal nötig, das Verhalten der Funktion in Randbereichen zu untersuchen. Hierfür werden Grenzwerte benötigt. Um diese zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wir beschäftigen uns hier mit der Möglichkeit der Testeinsetzung und der Termvereinfachung.

Grenzwertbestimmung mit Testeinsetzung

Die Funktion $f(x)= \frac{3x + 1}{x}$ mit $x > 0$ soll nach der rechten Definitionsgrenze untersucht werden. Dafür werden folgende Schritte unternommen:

Untersuchung der Funktionswerte wenn $x$ sehr groß wird → Testeinsetzung
Betrachtung des Funktionsgraphen

Testeinsetzung

Eine Möglichkeit die Funktion zu untersuchen ist es große Funktionswerte zu testen.

$x$	$1$	$10$	$100$	$1000$	$\rightarrow \infty$
$f(x)$	$4$	$3,1$	$3,01$	$3,001$	$3$

Die Funktion $f(x)= \frac{3x + 1}{x}$ strebt für $x$ gegen unendlich gegen den Grenzwert $3$.

Dies wird formal mit der Limesschreibweise notiert. Diese sieht für dieses Beispiel wie folgt aus:

$$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\frac{3x + 1}{x}} = 3$$

Graphisch lässt sich dies wie folgt darstellen:

Übungen Testeinsetzung

Bearbeitet S. 68 Nr. 1

Termvereinfachung

Die Möglichkeit Grenzwerte per Testeinsetzung zu finden ist einfach und häufig hilfreich. Manchmal ist es jedoch erforderlich den Grenzwert exakter zu bestimmen. Hier hilft die Termvereinfachung. Für die Funktion $f(x)= \frac{3x + 1}{x}$ kann man folgende Vereinfachung vornehmen:

\begin{align} &\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\frac{3x + 1}{x}} \\ = &\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{(\frac{3x}{x} + \frac{1}{x})} \\ = &\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{(3 + \frac{1}{x})} \\ = &\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{3} + \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\frac{1}{x}} \\ = &3 + 0 = 3 \end{align}

Übungen Termumformung

Bearbeite die Übungen auf S. 69

Grenzwerte für $x \rightarrow x_0$

Einleitung - Definitionslücken

Manche Funktionen, die wir in Zukunft untersuchen werden verfügen über sogenannte Definitionslücken. Beispiele hierfür sind folgende Funktionen:

$$f(x) = \frac{x^2 -4}{x}~~\text{und}~~g(x) = \frac{x^2 -4}{x-2}$$

Für die Funktion $f(x)$ nennt man $x=0$ eine Definitionslücke, da man nicht durch $0$ teilen darf. Aus dem gleichen Grund hat $g(x)$ eine Definitionslücke bei $x=2$.

Definitionslücken

betrachtet man eine Funktion der Form $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$

wobei $u(x)$ und $v(x)$ Polynome sind, dann hat $f(x)$ genau an den Nullstellen von $v(x)$ Definitionslücken.

Funktionsuntersuchung

Betrachtet die beiden obigen $f(x) = \frac{x^2 -4}{x}$ und $g(x) = \frac{x^2 -4}{x-2}$ Funktionen in GeoGebra.

Was stellt ihr fest?

Arten von Definitionslücken

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken:

Polstellen teilen die Funktion an einjer Definitionslücke in zwei Teile.
Behebbare Definitionslücken sind am Graphen nicht erkennbar.

Welche Art von Definitionslücke liegt vor?

Um festzustellen, welche Art von Definitionslücke vorliegt, braucht man Grenzwerte.

Ließ auf S. 70 das Beispiel zu Testeinsetzungen.
Führe das Verfahren für die Funktionen $f(x) = \frac{x^2 -4}{x}$ und $g(x) = \frac{x^2 -4}{x-2}$ durch.
Welchen Unterschied zwischen Polstellen und behebbaren Definitionslücken kannst du feststellen?

Übungen

S. 72 Nr. 4, 5, 6