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Extremalprobleme

Papierschachtel falten

In vielen Bereichen gibt es sogenannte Extremalprobleme. Ein klasssisches Beispiel sind hier Verpackungen. Im folgenden Beispiel werden wir dies einmal unter vereinfachten Bedingungen nachstellen. Erslle dazu aus einem Papierquadrat ($20cm \ \times \ 20cm$) eine Papierschachtel. Schneide dazu Quadrate aus den Ecken heraus und klappe die Seiten anschließend hoch. Ziel ist es, eine Schachtel mit maximalem Volumen zu erhalten.

  1. Schau dir dazu zunächst das Einleitende Video an und trage die ersten Werte in das unten stehende Koordinatensystem ein.
  2. Bastele selbst 2 - 3 Papierschachteln mit den gleichen Vorgaben. Trage die weiteren Punkte in das Koordinatensystem ein.
  3. Stelle eine Vermutung auf, welche Art von Funktion hier zugrunde liegen könnte.
  4. Schaue dir das unten stehende GeoGebra-Applet an. Dieses visualisiert den Zusammenhang noch einmal.
  5. Schau dir das weiterführende Video an, dort wird erläutert, wie man das Problem rechnerisch lösen kann.

Video - Papierschachteln - Einleitung
Rechnerischer Ansatz
Bestimmung Extremum
Ergebnisbetrachtung
Vorgehen bei Extremalproblemen

Bei den meisten Extremalproblemen kann man nach folgendem Schema vorgehen:

  1. Aufstellen d. Hauptbedingung z.B. das Volumen der Papierschachten $V(a, x)= a^2 \cdot x$
  2. Aufstellen d. Nebenbedingung z.B. über die Seitenlänge d. Papiers folgern, dass $2x + a = 20$
  3. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen z.B. $V(x) = (20-2x)^2 \cdot x$
  4. Extremum d. Funktion finden
Übungen - Niveau 1
  • S. 165 Nr. 1, 3
  • S. 166 Nr. 4
Übungen - Niveau 2
  • S. 169 Nr. 7
  • S. 171 Nr. 10, 11
Übung Niveau 3
  • S. 179 Nr. 27
Lösungen
Koppeln maximieren1)
Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel für seine Pferde anlegen. Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezäunt werden. Der zur Verfügung stehende Zaun ist 120m lang.

Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Weidefläche hat?

Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel?

Quader maximieren2)
Aus einem 120cm langen Draht ist das Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt maximal ist.

Wie lang sind die Kanten zu wählen?

Lösungen zu den Aufgaben von serlo.org
Lösung befindet sich hier.
Weitere Übungen im Buch

ARS

  • S. 194 Nr. 1 - 3
1) , 2)
Aufgabe von serlo.org unter CC BY-SA
mathe/sek-ii/e1/ableitung-anwendung/l7-extremalprobleme.txt · Zuletzt geändert: 2023-03-23 08:58 von yannik.wehr