In vielen Bereichen gibt es sogenannte Extremalprobleme. Ein klasssisches Beispiel sind hier Verpackungen. Im folgenden Beispiel werden wir dies einmal unter vereinfachten Bedingungen nachstellen. Erslle dazu aus einem Papierquadrat ($20cm \ \times \ 20cm$) eine Papierschachtel. Schneide dazu Quadrate aus den Ecken heraus und klappe die Seiten anschließend hoch. Ziel ist es, eine Schachtel mit maximalem Volumen zu erhalten.
- Schau dir dazu zunächst das Einleitende Video an und trage die ersten Werte in das unten stehende Koordinatensystem ein.
- Bastele selbst 2 - 3 Papierschachteln mit den gleichen Vorgaben. Trage die weiteren Punkte in das Koordinatensystem ein.
- Stelle eine Vermutung auf, welche Art von Funktion hier zugrunde liegen könnte.
- Schaue dir das unten stehende GeoGebra-Applet an. Dieses visualisiert den Zusammenhang noch einmal.
- Schau dir das weiterführende Video an, dort wird erläutert, wie man das Problem rechnerisch lösen kann.
Du kannst den Zusammenhang aus dem Beispiel in diesem GeoGebra-Applet nachvollziehen, indem du das Kreuz auf der x-Achse verschiebst.
Bei den meisten Extremalproblemen kann man nach folgendem Schema vorgehen:
- Aufstellen d. Hauptbedingung z.B. das Volumen der Papierschachten $V(a, x)= a^2 \cdot x$
- Aufstellen d. Nebenbedingung z.B. über die Seitenlänge d. Papiers folgern, dass $2x + a = 20$
- Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen z.B. $V(x) = (20-2x)^2 \cdot x$
- Extremum d. Funktion finden
- S. 165 Nr. 1, 3
- S. 166 Nr. 4
- S. 169 Nr. 7
- S. 171 Nr. 10, 11
- S. 179 Nr. 27
Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Weidefläche hat?
Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel?
Wie lang sind die Kanten zu wählen?
ARS
- S. 194 Nr. 1 - 3