Da die Bestimmung eines Wendepunktes sehr ähnlich zur Bestimmung von Extrema ist, hilft es sich hier zu vergegenwärtigen, was ein Wendepunkt ist. Hier gibt es zwei Bilder einer Funktion, die helfen können:
- Veränderung des Krümmungsverhaltens
- Extremum der Steigung (Extremum der ersten Ableitung)
Für jeden Wendepunkt $x_0$ einer Funktion $f$ gilt, dass $$f''(x_0)=0$$. Die zweite Ableitung von $f$ gleich null zu setzen, liefert also Kandidaten für Wendepunkte.
Vorsicht:
Wenn man weiß, dass die zweite Ableitung einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ gleich null ist, kann man nicht darauf schließen, dass $f$ dort einen Wendepunkt hat. Als Beispiel betrachten wir $f(x)=x^4$. Die zweite Ableitung ist von der Form $f''(x)=12 \cdot x^2$. Bei $x_0=0$ hat $f''$ eine Nullstelle, allerdings hat $f$ keinen Wendepunkt bei null.
Wenn $f$ in der Umgebung von $x_W$ dreimal differenzierbar ist und es gilt…
- …$f''(x_W) = 0$…
- …und $f'''(x_W) \neq 0$…
dann hat $f$ an der Stelle $x_W$ einen Wendepunkt.
Folgende Aussagen über den Wendepunkt können weiterhin getroffen werden:
- $f'''(x_W) < 0 \Rightarrow$ Links-Rechts-Wendepunkt
- $f'''(x_W) > 0 \Rightarrow$ Rechts-Links-Wendepunkt
Wenn $f$ in der Umgebung von $x_W$ zweimal differenzierbar ist und es gilt…
- …$$f''(x_W)=0$$ und…
- …es liegt ein Vorzeichenwechsel in $x_W$ vor…
…dann har $f$ in $x_W$ eine Wendestelle.
Folgende Aussagen über den Wendepunkt können weiterhin getroffen werden:
- VZW $+ \rightarrow - \Rightarrow$ Links-Rechts-Wendepunkt
- VZW $- \rightarrow + \Rightarrow$ Rechts-Links-Wendepunkt
- S. 138 Nr. 1