Wendepunkte

Was ist ein Wendepunkt?

Definition - Wendepunkt¹⁾

Ein Wendepunkt (WP) einer Funktion $f$ ist ein Punkt, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen von $f$ ändert. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung in $x_0$ ändert.

Vorstellung zum Wendepunkt

Da die Bestimmung eines Wendepunktes sehr ähnlich zur Bestimmung von Extrema ist, hilft es sich hier zu vergegenwärtigen, was ein Wendepunkt ist. Hier gibt es zwei Bilder einer Funktion, die helfen können:

Veränderung des Krümmungsverhaltens
Extremum der Steigung (Extremum der ersten Ableitung)

Notwendiges Kriterium Wendepunkt

Notwendiges Kriterium Wendepunkt²⁾

Für jeden Wendepunkt $x_0$ einer Funktion $f$ gilt, dass $$f''(x_0)=0$$. Die zweite Ableitung von $f$ gleich null zu setzen, liefert also Kandidaten für Wendepunkte.

Vorsicht:

Wenn man weiß, dass die zweite Ableitung einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ gleich null ist, kann man nicht darauf schließen, dass $f$ dort einen Wendepunkt hat. Als Beispiel betrachten wir $f(x)=x^4$. Die zweite Ableitung ist von der Form $f''(x)=12 \cdot x^2$. Bei $x_0=0$ hat $f''$ eine Nullstelle, allerdings hat $f$ keinen Wendepunkt bei null.

Hinreichendes Kriterium Wendepunkt - $f'''$-Kriterium

Wenn $f$ in der Umgebung von $x_W$ dreimal differenzierbar ist und es gilt…

…$f''(x_W) = 0$…
…und $f'''(x_W) \neq 0$…

dann hat $f$ an der Stelle $x_W$ einen Wendepunkt.

Folgende Aussagen über den Wendepunkt können weiterhin getroffen werden:

$f'''(x_W) < 0 \Rightarrow$ Links-Rechts-Wendepunkt
$f'''(x_W) > 0 \Rightarrow$ Rechts-Links-Wendepunkt

Hinreichendes Kriterium Wendepunkt - Vorzeichenwechsel-Kriterium

Wenn $f$ in der Umgebung von $x_W$ zweimal differenzierbar ist und es gilt…

…$f''(x_W)=0$ und…
…es liegt ein Vorzeichenwechsel in $x_W$ vor…

…dann har $f$ in $x_W$ eine Wendestelle.

Folgende Aussagen über den Wendepunkt können weiterhin getroffen werden:

VZW $+ \rightarrow - \Rightarrow$ Links-Rechts-Wendepunkt
VZW $- \rightarrow + \Rightarrow$ Rechts-Links-Wendepunkt

Wendepunkt bestimmen - Beispiel

Material Video

Sattelpunkt / Terassenpunkt bestimmen - Beispiel

Material Video

Übung Buch

S. 138 Nr. 1

Übung GeoGebra

Anwendungsbeispiel - Bitcoin

Der Kurs des Bitcoin lässt sich im Zeitraum seit 2009 durch die Funktion

$$f(t) = -0,006t^3 + 0,11t^2 + 0,01t$$

beschreiben³⁾. Dabei gilt:

$t$: Zeit in Jahren seit 2009
$f$: Wert eines Bitcoin in $10.000€$

Berechne das Jahr, in dem der Bitcoin nach dieser Annahme seinen Höchsten Kurs aufweist und gib auch den entsprechenden Wert an.
Berechne, in welchem Jahr der Kurszuwachs maximal war. Gib auch die Geschwindigkeit des Kurszuwachses zu diesem Zeitpunkt an.

Anwendungsbeispiel - Bitcoin - 1

Anwendungsbeispiel - Bitcoin - 2

Material Videos

Übung

S. 139 Nr. 3

¹⁾ , ²⁾

Quelle: serlo.org - CC BY-SA

³⁾

Daten frei erfunden.