Das Pumpspeicherkraftwerk Waldeck I und II am Edersee soll einen neuen Staudamm für den oberen Speichersee erhalten, da der alte Staudamm marode ist. Die Ingenieure der beauftragten Baufirma haben schon herausgefunden, dass für das optimale Verhältnis von Materialverbrauch und Sicherheit des Staudamms der Querschnitt die folgende Form haben sollte: Die dem Wasser zugewandte Seite sollte mit der Funktionsgleichung
\begin{align} f(x)=\frac{1}{10} \cdot x^2 \text{ im Intervall } [0 ;10] \text{ (also } 0\leq x \leq 10 \text{)} \end{align}
beschrieben werden können. Die dem Wasser abgewandte Seite sollte an der Dammspitze 1m dick sein.
Die Baufirma wägt zur Zeit alle Optionen ab, wie der neue Staudamm gebaut werden kann. Dazu wird überlegt, dass eine Kettenraupe das Baumaterial (Beton) von unten nach oben schieben könnte, um so die gewünschte Form herzustellen. Allerdings zweifelt der Vorarbeiter daran, dass die Kettenraupe diese Aufgabe erledigen kann, da deren Steigfähigkeit auf $45°$ bzw. einer Steigung von $1$ beschränkt ist und bei einer größeren Steigungen ein Motorschaden riskiert wird.
Nachdem ihr als Ingenieure bereits die Funktionsgleichung für den Querschnitt des Staudammes geliefert habt, werdet ihr nun von der Baufirma beauftragt, einzuschätzen, ob die Raupe der Aufgabe gewachsen ist oder ob der Vorarbeiter mit seiner Vermutung recht hat. Beantwortet also die folgenden Fragen:
- Schafft es die Kettenraupe den Staudamm hinauf zu fahren oder riskiert sie einen Motorschaden?
- Falls sie es nicht schaffen sollte, an welchem Punkt sollte sie stehen bleiben, damit der Motorschaden vermieden wird?
Füllt dazu das beigelegte Gutachten (PDF) (Gutachten (.DOCX)) aus. Dokumentiert jeden Schritt so, dass auch die Mitarbeiter der Baufirma und der Vorarbeiter eure Rechnung nachvollziehen können. Da hier keine Experten am Werk sind, müsst ihr auch die Formeln, die ihr benutzt habt, angeben.
Bewertet die Situation! Benutzt dazu den ausgeteilten Vordruck.
- Zeichnet die Funktion $f(x)=\frac{1}{10} \cdot x^2$ für das Intervall $[0;10]$ in das Koordinatensystem auf dem Gutachten ein. Beschriftet die Achsen sachgemäß.
- Ermittelt die absolute Änderung $\Delta y$ der Staumauer im Intervall $[0;10]$. Dies ist die Differenz der Funktionswerte der linken und rechten Grenze des Intervalls. Erstellt eine Formel und notiert sie auf dem Gutachten.
- Ermittelt die mittlere Steigung $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ der Staumauer im Intervall $[0;10]$. Diese entspricht der Steigung der Geraden zwischen den Punkten $P_1(0∣ f(0))$ und $P_2(10 ∣ f (10))$. Zeichnet die Gerade in das Koordinatensystem und berechnet die Steigung. Erstellt eine Formel und notiert sie auf dem Gutachten.
So könnte eine Lösung der Aufgabe aussehen:
Tauscht euch mit einer anderen Gruppe über die Ergebnisse aus. Beantwortet folgende Fragen:
- Was sagt euch die mittlere Steigung im Intervall $[0;10]$ im Kontext der Problemstellung? Ist sie hilfreich?
- Falls nein, wie könntet ihr die Problemstellung mit euren bisherigen Mitteln besser beantworten?
- Ist die Problemstellung ausreichend beantwortet?
Wenn wir eine Funktion betrachten, die auf dem Intervall $[a;b]$ definiert ist, dann kann der Differenzenquotient auf dem Intervall wie folgt gebildet werden:
\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) − f(a)}{b-a} \end{align}
Dieser Differenzenquotient wird auch mittlere Steigung genannt.
Anschaulich kann die mittlere Steigung als Sekantensteigung dargestellt werden.
- S. 76 Nr. 1
- S. 77 Nr. 2
- S. 80 Nr. 5
- S. 81 Nr. 10