Eigenschaften der Binomialverteilung

Was ist diese Binomialverteilung eigentlich?

In den vergangenen Stunden haben wir uns mit Bernoulli-Ketten befasst. Diese bilden nun eine wichtige Grundlage für die weiteren Betrachtungen. Wir werden hier Bernoulli-Ketten allgemeiner betrachten kann. Hierzu setzen wir zunächst folgendes fest:

$X$ ist die Anzahl der Treffer der betrachteten Bernoulli-Kette.
$n$ ist die Länge der Bernoulli-Kette.
$p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit der Bernoulli-Kette.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ bezeichnet man nun als Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$. Wie bereits bei den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden wir hier Histogramme verwenden, um die Eigenschaften der Binomialverteilung deutlich zu machen.

Einstiegsbeispiel

Material zum Video

Wir betrachten eine allgemeine Bernoulli-Kette. mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p=0,4$ und $n=5$.

Als Beispiel könnte hier folgendes Spiel herhalten. Ein Glücksrad mit $5$ gleichgroßen Feldern hat $2$ Gewinnfelder und $3$ Felder bei denen man verliert. Ein Spieler erhält $5$ Versuche das Rad zu drehen. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach Anzahl der Treffer auf.

Eigenschaften abhängig von $p$ erkunden

Erkunden Sie die Eigenschaften der Binomialverteilung in Abhängigkeit von $p$. Betrachten Sie dazu folgende Binomialverteilungen:

$B(5; 0,2; k)$
$B(5; 0,4; k)$
$B(5; 0,5; k)$
$B(5; 0,8; k)$

Beantworten Sie folgende Fragen:

Wie wirkt sich $p$ auf die Lage des Maximums aus?
Wie sieht die Verteilung für $p=0,5$ aus?
Welche Beziehung besteht zwischen den Verteilungen für $p$ und $1-p$ z.B. $p=0,2$ und $p=0,8$?

Sie können dazu das unten angezeigte GeoGebra-Applet verwenden.

Eigenschaften abhängig von $n$ erkunden

Erkunden Sie die Eigenschaften der Binomialverteilung in Abhängigkeit von $n$. Betrachten Sie dazu folgende Binomialverteilungen:

$B(3; 0,4; k)$
$B(5; 0,4; k)$
$B(8; 0,4; k)$

Beantworten Sie dazu folgende Fragen:

Wie entwickelt sich die Verteilung der Säulen mit größerem $n$?
Wie wirkt sich ein größeres $n$ auf das Maximum der Verteilung aus?
Wie entwickelt sich die Symmetrie der Verteilung mit größer werdendem $n$?

Sie können dazu das unten angezeigte GeoGebra-Applet verwenden.

Binomialverteilung in Abhängigkeit von $n$ und $p$ visualisiert

Eigenschaften der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung $P(X=k) = B(n;p;k)$ hat in Abhängigkeit von $p$ folgende Eigenschaften:

Mit größerem $p$ verschiebt sich das Maximum in der Verteilung weiter nach rechts.
Wenn $p=0,5$ gilt, ist das Verteilungsmaximum in der Mitte, außerdem ist die Verteilung symmetrisch sodass gilt: $b(n; 0,5; k) = B(n; 0,5; n-k)$.
Es liegt eine Symmetrie vor, sodass gilt $B(n; p; k) = B(n; 1-p; n-k)$.

In Abhängigkeit von $n$ hat die Binomialverteilung folgende Eigenschaften:

Bei größer werdendem $n$ wird das Verteilungsdiagramm breiter und flacher.
Das Maximum der Verteilung verschiebt sich bei größerem $n$ nach rechts.
Das Verteilungsdiagramm wirkt bei größer werdendem $n$ symmetrischer.

Übungen

GK: S. 123 Nr. 7, 8, 9
LK: S. 125 Nr. 7, 8

Lösungen

Erwartungswert, Standardabweichung und Sigmaregeln

Erwartungswert von binomialverteilten Zufallsgrößen

Es sei $X$ die Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Dann gilt:

\begin{align} E(X) = \mu = n \cdot p \end{align}

Varianz und Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen

Sei $X$ die Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Dann gilt:

\begin{align} V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \sigma = \sqrt{V(X)} \end{align}

Erwartungswert, Standardabweichung und Sigmaregeln bei binomialverteilten Zufallsgrößen

Material zum Video

Ein Würfel wird 100-mal geworfen. $X$ sei die Anzahl der geworfenen Sechsen. Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$ von $X$. Geben Sie ein Intervall an in dem $95,5%$ aller Werte von $X$ liegen.

Die Sigmaregeln¹⁾

Die Trefferzahl einer binomialverteilten Zufallsvariable liegt für große $n$ und für $\sigma > 3$ mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $68,3%$ im Bereich $\mu \pm \sigma ([\mu −\sigma ;\mu + \sigma])$. Weitere Näherungen zeigt nachfolgende Tabelle:

Gegeben ist der Bereich … Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl in diesem Bereich liegt.
$([\mu −\sigma ;\mu + \sigma]) \rightarrow 68,3%$
$([\mu −2\sigma ;\mu + 2\sigma]) \rightarrow 95,5%$
$([\mu −3\sigma ;\mu + 3\sigma]) \rightarrow 99,7%$

Standardaufgabe zu den Sigmaregeln

Material zum Video

In einer Schule sind 1000 Kinder. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewählter Schüler an einem Montag geboren wurde.

Berechnen Sie außerdem ein Intervall, in dem die Anzahl der "Montagskinder" zu $95,5%$ liegt.
Bestimmen Sie, wie glaubhaft die Aussage glaubhaft ist, dass im Mathe-GK von Herrn Wehr von 25 Schüler*innen 10 "Montagskinder" sind.

Transkript Video (PDF)
Transkript (Goodnotes)

Übungen

S. 126 - 128

Lösungen (PDF)

¹⁾

Definition von Knowledge Map unter CC BY-SA, Inhalte wurden leicht verändert