Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung

Histogramme

Aufgabe 1 - Histogramme

Ein blauer und ein roter Würfel werden geworfen. Wir betrachten das Merkmal Augensumme.

Welche Augensummen sind möglich?
Hat Augensumme $7$ eine größere Wahrscheinlichkeit als Augensumme $8$?
Bestimmen Sie zu jeder möglichen Augensumme die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Stellen Sie dies in einer Tabelle zusammen. Zeichnen Sie hierzu ein Histogramm.

Augensumme $k$	Ergebnisse mit Augensumme	Wahrscheinlichkeit für Augensumme $k$
2	$\{(1; 1) \}$	$P(k=2)=\frac{1}{36}$
3	…	…
…	…	…

Zufallsgröße und Erwartungswert

Beispiel - Siedler von Catan

Beim Spiel "Die Siedler von Catan" wird mit zwei Würfeln gespielt. Tim und Bob sind als einzige beide Spieler übrig und das Spiel kommt nicht zu einem Ende. Sie vereinbaren folgende Regel:

Bei einer $6$ gibt Tim fünf Rohstoffkarten an Bob, bei einer $7$ gibt Tim eine Rohstoffkarte ab. Im Gegenzug gibt Bob Tim pro Wurf eine Rohstoffkarte.

Als Zufallsgröße betrachten wir den Gewinn von Tim, diesen nennen wir $X$. $X$ kann die folgenden Werte annehmen:

$-4$	Bob gibt Tim eine Karte, dann wird eine $6$ gewürfelt, also muss Tim fünf Rohstoffkarte an Bob abgeben.
$0$	Bob gibt Tim eine Rohstoffkarte und es wird eine $7$ gewürfeklt, also gibt Tim die eine Rohstoffkarte wieder zurück.
$1$	Bob gibt Tim eine Karte und es wird eine Zahl gewürfelt die weder $6$ noch $7$ ist.

Nun können wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X betrachten. Dazu benötigen wir zunächst die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$P(X=-4)= \frac{5}{36}$
$P(X=0)= \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
$P(X=1)= 1 - (\frac{5}{36} + \frac{6}{36}) = \frac{25}{36}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$
$x_i$	$-4$	$0$	$1$
$P(X=x_i)$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{25}{36}$

Wenn wir nun betrachten wollen, für wen dieses Spiel auf lange Sicht besser ausgeht, können wir wie folgt vorgehen:

$E(X) = \frac{5}{36} \cdot -4 + \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{25}{36} \cdot 1 = \frac{5}{36}$

Hier konnten wir nun nachrechnen, dass Tim im Schnitt $\frac{5}{36}$ einer Rohstoffkarte pro Runde gewinnt. Auf lange Sicht wird Tim somit gewinnen, allerdings klingt diese Variante nicht so spannend wie eine weitere Runde Siedler

Definition Zufallsgröße / Zufallsvariable

Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Element der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments genau eine reelle Zahle zuordnet. Im obigen Beispiel kann die Zufallsvariable $X$ (Gewinn von Tim) die Werte $-2$, $0$ und $1$ annehmen.

Die Ereignisse, deren Eintreten dazu führen, dass die Zufallsgröße den Wert $x$ annimmt werden mit $X = x_i$ bezeichnet. Im obigen Beispiel gibt es die Ereignisse $X=-2$, $X=0$ und $X=1$.

Erstellt man eine Zuordnungstabelle, die jedem $x_i$ der Zufallsgröße $X$ seine Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$ zu, so nennt man diese die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$.

Die graphische Darstellung hierzu heißt Histogramm.

Erwartungswert

Den Erwartungswert einer Zufallsgröße $X$ mit den Elementen $x_1, x_2, x_m$ berechnet man mit folgender Formel:

$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_m \cdot P(X=x_m)$

Strategie zur Berechnung des Erwartungswertes

Festlegung der Zufallsgröße $X$
1. Wie ist $X$ definiert?
2. Welche Werte kann $X$ annehmen?
Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$
Berechnung des Erwartungswertes $E(X)$ gemäß Definition

Aufgabe 2 - Würfel

Spieler A bietet Spieler B ein Spiel mit drei Würfeln an:

Zeigt genau einer der Würfel die Augenzahl $1$, dann bezahlt A an B 10 Cent, bei zweimal Augenzahl $1$ sogar 20 Cent. Zeigen alle drei Würfel Augenzahl $1$, bekommt Spieler B 30 Cent. Spieler B soll pro Spiel 5 Cent Einsatz zahlen. Ist das Spiel fair?