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Aufgabe 1 - Autohersteller
Ein Autohersteller lässt bei einem Wagentyp Scheibenwischer von drei verschiedenen Zulieferfirmen einbauen. Vom 1. Zulieferer stammen 20%, vom zweiten 30%, vom dritten 50%.
Bei den Inspektionen nach 6 Monaten wird festgestellt, dass 15% der Scheibenwischer der ersten, 18% der zweiten und 9% der dritten Zulieferfirma unbrauchbar geworden sind.
- Stellen Sie die Daten in einem Baumdiagramm zusammen und berechnen Sie die Pfadwahrscheinlichkeiten.
- Stellen Sie den Sachverhalt in einer Mehrfeldertafel dar.
- Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein zufällig ausgewählter unbrauchbarer Scheibenwischer von Firma 1, 2 bzw. 3 stammt.
Stochastische Unabhängigkeit
Hängt die Wahrscheinlichkeit für das Teilergebnis einer Stufe vom Teilergebnis der vorhergehenden Stufe ab, dann sind diese Ergebnisse voneinander abhängig. Kennzeichen unabhängiger Teilergebnisse sind gleiche Teilbäume.
Die Ergebnisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig voneinander wenn gilt:
- $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
- $P_A(B) = P(B)$
- $P_B(A) = P(A)$
Aufgabe 2 - Stochastische Unabhängigkeit überprüfen
In einer Schule soll untersucht werden, ob das Tragen einer Brille geschlechterabhängig ist. Untersuchen Sie dies anhand der folgenden Statistik.
- $B$: "Kind trägt Brille"
- $M$: "Kind ist Mädchen"
| $B$ | $\bar{B}$ | |
| $M$ | $179$ | $503$ |
| $\bar{M}$ | $193$ | $537$ |
Übungsaufgabe - Urne
Material zum Video1)
In einer Urne sind 9 schwarze, 5 blaue und 3 rote Kugeln. Viermal wird mit Zurücklegen gezogen. Beweisen Sie, dass die Ereignisse A: "Blau beim ersten Zug" und B:"Kein Schwarz bei 4. Zug" unabhängig sind.
Übungsaufgabe - Müller
Material zum Video2)
Herr Müller kommt im Durchschnitt an 8 von 100 Tagen zu spät zur Arbeit. Zu seiner Arbeitsstätte fährt er manchmal mit dem eigenen Auto, an 60% aller Arbeitstage nimmt er jedoch öffentliche Verkehrsmittel.
Er hat beobachtet, dass er durchschnittlich in 5% aller Fälle mit dem Auto unterwegs ist und zu spät zur Arbeit kommt.
Sind das Zu-Spät-Kommen und die Nutzung des eigenen Autos voneinander stochastisch unabhängig?