In der letzten Lektion zum Gauß-Algorithmus habt ihr Gleichungssysteme kennen gelernt, die eine eindeutige Lösung hatten. Hier untersuchen wir die beiden anderen Fälle, LGS ohne Lösung und LGS mit unendlich vielen Lösungen. Außerdem betrachten wir noch unter- und überbestimmte Gleichungssysteme.
$$\begin{array}{cl} &\begin{array}{r|rrrcr|} \text{I}&1x&+2y&-z&=&3\\ \text{II}&2x&-y&+2z&=&8\\ \text{III}&3x&+11y&-7z&=&6 \end{array}\\ \overset{\text{Koeff. Matrix}}{\Rightarrow}&\left(\begin{array}{rrr|r} 1&2&-1&3\\ 2&-1&2&8\\ 3&11&-7&6 \end{array}\right)\\ \overset{\text{Gauß}}{\Rightarrow}&\left(\begin{array}{rrr|r} 1&2&-1&3\\ 0&-5&4&2\\ 0&0&0&-1 \end{array}\right)\begin{array}{l} ~\\ ~\\ \bbox[red,2px,border: dotted 1px]{\textbf{Widerspruchszeile}}\\ \end{array} \end{array}$$
Im Laufe des Gauß-Algorithmus erzeugen wir eine so genannte $\bbox[red,2px,border: dotted 1px]{\textbf{Widerspruchszeile}}$. Wenn wir diese Widerspruchszeile als Gleichung notieren, bekommen wir $0x+0y+0z=-1$, was für keine Kombination von Werten für $x$, $y$ und $z$ lösbar ist.
Dies ergibt immer $0=-1$, was einen Widerspruch darstellt. Somit ist auch das gesamte Gleichungssystem für keine Kombination von Werten für $x$, $y$ und $z$ lösbar. Also ist die Lösungsmenge leer:
$$\mathbb{L}=\left\{\right\}$$
$$\begin{array}{cl} &\begin{array}{r|rrrcr|} \text{I}&2x&+y&-4z&=&1\\ \text{II}&3x&+2y&-7z&=&1\\ \text{III}&4x&-3y&+2z&=&7 \end{array}\\ \overset{\text{Koeff. Matrix}}{\Rightarrow}&\left(\begin{array}{rrr|r} 2&1&-4&1\\ 3&2&-7&1\\ 4&-3&2&7 \end{array}\right)\\ \overset{\text{Gauß}}{\Rightarrow}&\left(\begin{array}{rrr|r} 2&1&-4&1\\ 0&1&-2&-1\\ 0&0&0&0 \end{array}\right)\begin{array}{l} ~\\ ~\\ \bbox[lightblue,2px,border: dotted 1px]{\textbf{Nullzeile!}}\\ \end{array} \end{array}$$
Im Laufe des Gauß-Algorithmus erzeugen wir eine so genannte $\bbox[lightblue,2px,border: dotted 1px]{\textbf{Nullzeile}}$. Wenn wir diese Nullzeile als Gleichung notieren, bekommen wir $0x+0y+0z=0$, was für jede Kombination von Werten für $x$, $y$ und $z$ lösbar ist.
Diese Gleichung ergibt immer $0=0$, was eine allgemeingültige Aussage1) darstellt. Somit ist auch das gesamte Gleichungssystem für jede Kombination von Werten für $x$, $y$ und $z$ lösbar.
Um nun eine Lösungsmenge notieren zu können, müssen wir noch etwas Arbeit investieren, indem wir eine Variable festsetzen. Da wir die Nullzeile in der dritten Zeile erzeugt haben (die ja eigentlich am Ende die Lösung für $z$ liefert), setzen wir $z=c,~~c\in\mathbb{R}$ fest. Das bedeutet nichts anderes, als dass wir für $z$ einen beliebigen Wert $c$ festsetzen, der nun keine Variable des ursprünglichen Gleichungssystems mehr ist.
Aus den beiden anderen Zeilen (den beiden "nicht-Nullzeilen") stellen wir nun ein neues Gleichungssystem auf. In dieses setzen wir für $z=c$ ein und sortieren anschließend die Gleichungen so, dass auf der linken Seite nur noch die Variablen stehen.
$$\begin{array}{cl} &\begin{array}{|rcr|} 2x+y-4z&=&1\\ y-2z&=&-1 \end{array}\\ \overset{z=c~\text{eins.}}{\Rightarrow}&\begin{array}{r|rcr|} \text{I} &2x+y-4c&=&1\\ \text{II}&y-2c&=&-1 \end{array}\\ \overset{\text{umsortieren}}{\Rightarrow}&\begin{array}{r|rcr|} \text{I} &2x+y&=&1+4c\\ \text{II}&y&=&-1+2c \end{array} \end{array}$$
Hier sehen wir direkt, dass eine Lösung für $y$ schon direkt im Gleichungssystem steht:
$$y=-1+2c$$
Diese Lösung können wir in die erste Gleichung einsetzen:
$$\begin{array}{rcll} 2x+(2c-1) &=& 1+4c &|-(2c-1)\\ 2x &=& 2+2c &|:2\\ x &=& c+1 & \end{array}$$
Dies liefert uns auch für $x$ eine Lösung:
$$x=c+1$$
Somit können wir uns die Lösungsmenge notieren:
$$\mathbb{L}=\left\{(c+1;2c-1;c)|c\in\mathbb{R}\right\}$$
Wir wollen das folgende Gleichungssystem lösen, welches aus mehr Gleichungen (4) besteht, als Variablen vorhanden sind (3):
$$\begin{array}{r|rrrcr|l} \text{I}&3x&+y&+z&=&8&\\ \text{II}&x&+2y&+z&=&8&\\ \text{III}&2x&+3y&+2z&=&14&\\ \text{IV}&x&+y&+z&=&6&\bbox[yellow,2px,border: 1px dotted]{(erstmal) ignorieren} \end{array}$$
Hierzu $\bbox[yellow,2px,border: 1px dotted]{\text{ignorieren}}$ wir eine der Gleichungen und lösen das "übriggebliebene" LGS mit dem Gauß-Verfahren wie gewohnt:
$$\begin{array}{r|rrrcr|} \text{I}&3x&+y&+z&=&8\\ \text{II}&x&+2y&+z&=&8\\ \text{III}&2x&+3y&+2z&=&14 \end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{rrr|r} 3&1&1&8\\ 1&2&1&8\\ 2&3&2&14 \end{array}\right)\overset{\text{Gauß}}{\Rightarrow}\left(\begin{array}{rrr|r} 1&0&0&1\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&3 \end{array}\right)$$
Der Gauß-Algorithmus liefert uns somit eine Lösungsmenge für die ersten drei Gleichungen des LGS:
$$\mathbb{L}_{\text{I-III}}=\left\{\left(1;2;3\right)\right\}$$
Diese Lösung müssen wir nun noch mit der vierten Gleichung verifizieren, indem wir die Lösung für $x$, $y$ und $z$ einsetzen:
$$\begin{array}{rcll} x+y+z&=&6&\\ 1+2+3&=&6&\\ 6&=&6&\bbox[lime,2px,border: 1px dotted]{\text{Wahre Aussage}} \end{array}$$
Kommt hier eine $\bbox[lime,2px,border: 1px dotted]{\text{wahre Aussage}}$ heraus, so gilt die Lösungsmenge der ersten drei Gleichungen auch für das gesamte Gleichungssystem:
$$\mathbb{L}=\left\{\left(1;2;3\right)\right\}$$
Sollte bei dieser Überprüfung ein $\bbox[red,2px,border: 1px dotted]{\text{Widerspruch}}$ entstehen, so ist die Lösungsmenge des gesamten LGS leer.
Wir wollen das folgende unterbestimmte Gleichungssystem lösen. Dieses hat mehr Variablen (3) als Gleichungen (2):
$$\begin{array}{r|rrrcr|} \text{I}&2x&+y&+z&=&3\\ \text{II}&&y&-z&=&1 \end{array}$$
Um dieses LGS zu lösen, ergänzen wir zunächst eine $\bbox[lightblue,2px,border: dotted 1px]{\textbf{Nullzeile}}$:
$$\begin{array}{r|rrrcr|l} \text{I}&2x&+y&+z&=&3&\\ \text{II}&&y&-z&=&1&\\ \text{III}&0x&+0y&+0z&=&0&\bbox[lightblue,2px,border: dotted 1px]{\textbf{Nullzeile}} \end{array}$$
Somit können wir, wie oben bereits gezeigt, eine Variable festsetzen:
$$z=c,~~c\in\mathbb{R}$$
Somit wird in die übrigen Gleichungen $z=c$ eingesetzt:
$$\begin{array}{|rcr|} 2x+y+z&=&3\\ y-z&=&1\\ \end{array}~~\overset{z=c\text{ einsetzen}}{\Rightarrow}~~\begin{array}{|rcr|} 2x+y+c&=&3\\ y-c&=&1\\ \end{array}~~\overset{\text{umformen}}{\Rightarrow}~~\begin{array}{r|rcr|} \text{I}&2x+y&=&3-c\\ \text{II}&y&=&1+c\\ \end{array}$$
Hierbei folgt direkt aus der II. Gleichung $y=1+c$, welches wir direkt in die I. Gleichung einsetzen können:
$$\begin{array}{rcll} 2x+y &=&3-c&\\ 2x+(1+c) &=&3-c &|-(1+c)\\ 2x &=& 2-2c &|:2\\ x &=& 1-c & \end{array}$$
Somit ergibt sich als Lösungsmenge:
$$\mathbb{L}=\left\{(1-c;1+c;c)|c\in\mathbb{R}\right\}$$