Die (erweiterte) Koeffizientenmatrix ist eine alternative Darstellung für Gleichungssysteme. Nehmen wir als Beispiel das folgende LGS:
$$\begin{array}{l}\text{I}\\\text{II}\end{array}\left|\begin{array}{c} 1a + 2b = 3\\ 4a + 5b = 6 \end{array}\right| $$
Wie bereits bekannt, werden die Vorfaktoren der Variablen Koeffizienten genannt. Die Variablen sind in allen Gleichungen gleich, nur die Koeffizienten unterscheiden sich von Gleichung zu Gleichung. Diese Wiederholung können wir uns sparen, indem wir nur die Koeffizienten notieren:
$$ \begin{array}{rcl} \begin{array}{l}\text{I}\\\text{II}\end{array}\left|\begin{array}{c} \bbox[yellow,2px,border:1px dotted]{1}a + \bbox[lime,2px,border:1px dotted]{2}b = \bbox[magenta,2px,border:1px dotted]{3}\\ \bbox[yellow,2px,border:1px dotted]{4}a + \bbox[lime,2px,border:1px dotted]{5}b = \bbox[magenta,2px,border:1px dotted]{6} \end{array}\right|&\Rightarrow&\left(\begin{array}{cc|c} \bbox[yellow,2px,border:1px dotted]{1} & \bbox[lime,2px,border:1px dotted]{2} & \bbox[magenta,2px,border:1px dotted]{3}\\ \bbox[yellow,2px,border:1px dotted]{4} & \bbox[lime,2px,border:1px dotted]{5} & \bbox[magenta,2px,border:1px dotted]{6} \end{array}\right)\\ \end{array} $$
Diese Darstellung nennt sich erweiterte Koeffizientenmatrix. Um das zu verdeutlichen, verwenden wir runde Klammern statt der geraden Striche, statt dem Gleichheitszeichen notieren wir einen geraden Strich.
Der Gauß-Algorithmus basiert auf dem Additionsverfahren. Um ihn zu notieren, verwendet man in der Regel statt eines "normalen" LGS die erweiterte Koeffizientenmatrix, um sich Schreibarbeit zu sparen.
Ziel des Gauß-Algorithmus ist es, eine Matrix der Form
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&0&m\\ 0&1&0&p\\ 0&0&1&q\\ \end{array}\right)$$
zu erzeugen. Diese Form nennt man Diagonalmatrix, sie hat auf der Diagonalen der linken Seite nur $1$er, alle anderen Koeffizienten sind $0$. Lediglich die rechte Seite darf beliebiege Zahlen beinhalten.
Hat man z.B. das unten stehende Ergebnis des Gauß-Algorithmus, so kann man direkt die Lösungen für das LGS ablesen.
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&0&5\\ 0&1&0&-3\\ 0&0&1&\frac{5}{7}\\ \end{array}\right)\begin{array}{l} \Rightarrow a=5\\ \Rightarrow b=-3\\ \Rightarrow c=\frac{5}{7}\\ \end{array}$$
Aber wie erzeugen wir diese Darstellung überhaupt? Hier kommen die Äquivalenzumformungen für Gleichungssysteme und das Additionsverfahren wieder zum tragen (siehe vorherige Lektion). Am einfachsten wird das Vorgehen durch das folgende Beispiel verdeutlicht.
$$\begin{array}{l}\text{I}\\\text{II}\end{array}\left|\begin{array}{c} 1a + 2b = 3\\ 4a + 5b = 6 \end{array}\right|$$
Dazu überführen wir es zunächst in die erweiterte Koeffizientenmatrix:
$$ \begin{array}{rcl} \begin{array}{l}\text{I}\\\text{II}\end{array}\left|\begin{array}{c} 1a + 2b = 3\\ 4a + 5b = 6 \end{array}\right|&\Rightarrow&\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)\\ \end{array} $$
Nun können wir den Gauß-Algorithmus anwenden, um eine Diagonalmatrix zu erzeugen. Die grün markierten Einträge sind bereits in der gewünschten Form.
(2) Um an Stelle der $\bbox[yellow,border:1px dotted,2px]{\color{red}{\bf -3}}$ eine $\bbox[lime,border:1px dotted,2px]{\color{green}{\bf 1}}$ zu erzeugen, muss die zweite Zeile durch -3 dividiert werden. Dies ergibt die neue zweite Zeile: $\bbox[pink,border:1px dotted,2px]{\text{II}=\text{II}:(-3)}$
(3) Um an Stelle der $\bbox[yellow,border:1px dotted,2px]{\color{red}{\bf 2}}$ eine $\bbox[lime,border:1px dotted,2px]{\color{green}{\bf 0}}$ zu erzeugen, muss das doppelte der zweiten Zeile von der ersten Zeile subtrahiert werden. Dies ergibt die neue erste Zeile: $\bbox[pink,border:1px dotted,2px]{\text{I}=\text{I}-2\cdot\text{II}}$
(4) Nun liegt die erweiterte Koeffizientenmatrix als Diagonalmatrix vor. Hieraus können wir die Lösung direkt ablesen:
$$ \mathbb{L}=\left\{\left(\bbox[lightblue,border:1px dotted,2px]{\color{blue}{\bf -1}};\bbox[lightblue,border:1px dotted,2px]{\color{blue}{\bf 2}}\right)\right\}=\{a=\bbox[lightblue,border:1px dotted,2px]{\color{blue}{\bf -1}};b=\bbox[lightblue,border:1px dotted,2px]{\color{blue}{\bf 2}}\} $$
Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus:
$$ \begin{array}{l|rrrcr|} I&a&-b&+2c&=&0\\ II&-2a&+b&-6c&=&0\\ III&a&&-2c&=&3 \end{array} $$