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--- mathe:sek-ii:e2:exp-fkt:l7-ableitung-exp [2021-05-19 11:20] – [BetterBox#12] christian.weber
+++ mathe:sek-ii:e2:exp-fkt:l7-ableitung-exp [2024-05-17 08:48] (aktuell) – [BetterBox#12] christian.weber
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 **e)** Nun gilt es nur noch herauszufinden, welche Funktionsgleichung dahinter steckt. Hast du eine Idee? Schreibe deine Vermutung auf und begründe sie.
-**d)** Überprüfe deine Vermutung, indem du das Häkchen für "Ableitung" setzt.
+**f)** Überprüfe deine Vermutung, indem du das Häkchen für "Ableitung" setzt.
 </aufgabe>
 <beispiel w2|**Geogebra**>
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 </beispiel>
 <merksatz w1>
-Die Ableitung der Exponentialfunktionen $f(x)=2^x$ ist die Exponentialfunktion selbst mit einem (noch nicht genau bestimmbaren) Vorfaktor:
+Die Ableitung der Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ ist die Exponentialfunktion selbst mit einem (noch nicht genau bestimmbaren) Vorfaktor:
 $$f(x)=2^x \implies f'(x)=0,69\cdot2^x$$
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 <bbox w3-2>
-Natürlich kommen wir nicht ganz drum herum, die Ableitungsfunktion auch rechnerisch zu bestimmen. Hierzu nehmen wir uns wie schon von den Polynomen bekannt, den Differentialquotienten zur Hilfe.
+Natürlich kommen wir nicht ganz drum herum, die Ableitungsfunktion auch rechnerisch zu bestimmen. Hierzu nehmen wir uns wie schon von den Polynomen bekannten Differentialquotienten zur Hilfe.
 \\
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 </bbox>
 <bbox w3 center dotted white|**Erinnerung:** Differentialquotient>
-$$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+1)-f(x)}{h}}$$
+$$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
 </bbox>
 </grid>
 $$\begin{array}{rclcl}
-f'(x) &=&\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+1)-f(x)}{h}}&|&\text{Einsetzen von f(x)}\\
+f'(x) &=&\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}&|&\text{Einsetzen von f(x)}\\
 &=&\lim_{h\to 0}{\frac{2^{(x+h)}-2^x}{h}}&|&\text{Potenzgesetz }a^{(b+c)}=a^b\cdot a^c\\
 &=&\lim_{h\to 0}{\frac{2^x\cdot2^h-2^x}{h}}&|&\text{Ausklammern von }2^x\text{ im Zähler}\\
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 $$\begin{array}{rclcl}
-(2^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{2^h-1}{h}}\right)\cdot 2^x&\approx& 0,693\cdot 2^x\\
 (2,7^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{2,7^h-1}{h}}\right)\cdot 2,7^x&\approx& 0,99\cdot 2,7^x\\
-(3^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{3^h-1}{h}}\right)\cdot 3^x&\approx& 1,099\cdot 3^x\\
+(2,8^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{2,8^h-1}{h}}\right)\cdot 2,8^x&\approx& 1,03\cdot 2,8^x\\
 \end{array}$$
-Die gesuchte Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ liegt also mit ihrer Basis $e$ irgendwo zwischen $2,7$ und $3$
+Die gesuchte Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ liegt also mit ihrer Basis $e$ irgendwo zwischen $2,7$ und $2,8$
 </beispiel>
 <merksatz w1>
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 **a)** Gegeben sei die Funktion $f(x)=e^x$. Berechne, für welches $x$ die Funktion den Wert $f(x)=2$ annimmt.
-**b)** Bearbeite die folgende Anwendungsaufgabe((Quelle: Bigalke Köhler, Mathematik E, Gymnasiale Oberstufe, Einführungsphase, Cornelsen 2016, S. 223)):
+**b)** Bearbeite im Buch S. 223 das Beispiel, verwende GeoGebra um die Graphen zu zeichnen. Bearbeite anschließend Aufgabe 5 auf S. 223.
-{{ :mathe:sek-ii:e2:exp-fkt:l7-ableitung-exp-christian.weber-2021-05-02-11-21-40.png?nolink }}
 </aufgabe>
 </grid>