Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- mathe:sek-ii:e2:exp-fkt:l7-ableitung-exp [2021-05-02 11:14] – [BetterBox#12] christian.weber
+++ mathe:sek-ii:e2:exp-fkt:l7-ableitung-exp [2024-05-17 08:48] (aktuell) – [BetterBox#12] christian.weber
@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 <grid>
 <info w1|**Info**>
-Die meiste Zeit in der E-Phase haben wir uns mit dem Thema Ableitungen befasst. In der ektuellen Einheit zum Thema Exponentialfunktionen sind diese noch nicht vorgekommen. Nun ist es soweit!
+Die meiste Zeit in der E-Phase haben wir uns mit dem Thema Ableitungen befasst. In der aktuellen Einheit zum Thema Exponentialfunktionen sind diese noch nicht vorgekommen. Nun ist es soweit!
 </info>
 <aufgabe w2|**Aufgabe 1**>
@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 **e)** Nun gilt es nur noch herauszufinden, welche Funktionsgleichung dahinter steckt. Hast du eine Idee? Schreibe deine Vermutung auf und begründe sie.
-**d)** Überprüfe deine Vermutung, indem du das Häkchen für "Ableitung" setzt.
+**f)** Überprüfe deine Vermutung, indem du das Häkchen für "Ableitung" setzt.
 </aufgabe>
 <beispiel w2|**Geogebra**>
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 </beispiel>
 <merksatz w1>
-Die Ableitung der Exponentialfunktionen $f(x)=2^x$ ist die Exponentialfunktion selbst mit einem (noch nicht genau bestimmbaren) Vorfaktor:
+Die Ableitung der Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ ist die Exponentialfunktion selbst mit einem (noch nicht genau bestimmbaren) Vorfaktor:
 $$f(x)=2^x \implies f'(x)=0,69\cdot2^x$$
@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
 <bbox w3-2>
-Natürlich kommen wir nicht ganz drum herum, die Ableitungsfunktion auch rechnerisch zu bestimmen. Hierzu nehmen wir uns wie schon von den Polynomen bekannt, den Differentialquotienten zur Hilfe.
+Natürlich kommen wir nicht ganz drum herum, die Ableitungsfunktion auch rechnerisch zu bestimmen. Hierzu nehmen wir uns wie schon von den Polynomen bekannten Differentialquotienten zur Hilfe.
 \\
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 </bbox>
 <bbox w3 center dotted white|**Erinnerung:** Differentialquotient>
-$$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+1)-f(x)}{h}}$$
+$$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
 </bbox>
 </grid>
 $$\begin{array}{rclcl}
-f'(x) &=&\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+1)-f(x)}{h}}&|&\text{Einsetzen von f(x)}\\
+f'(x) &=&\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}&|&\text{Einsetzen von f(x)}\\
 &=&\lim_{h\to 0}{\frac{2^{(x+h)}-2^x}{h}}&|&\text{Potenzgesetz }a^{(b+c)}=a^b\cdot a^c\\
 &=&\lim_{h\to 0}{\frac{2^x\cdot2^h-2^x}{h}}&|&\text{Ausklammern von }2^x\text{ im Zähler}\\
@@ Zeile 85: / Zeile 85: @@
 $$\begin{array}{rclcl}
-(2^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{2^h-1}{h}}\right)\cdot 2^x&\approx& 0,693\cdot 2^x\\
+(2,7^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{2,7^h-1}{h}}\right)\cdot 2,7^x&\approx& 0,99\cdot 2,7^x\\
-(2,7^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{1,5^h-1}{h}}\right)\cdot 1,5^x&\approx& 0,99\cdot 1,5^x\\
+(2,8^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{2,8^h-1}{h}}\right)\cdot 2,8^x&\approx& 1,03\cdot 2,8^x\\
-(3^x)'&=&\left(\lim_{h \to 0}{\frac{3^h-1}{h}}\right)\cdot 3^x&\approx& 1,099\cdot 3^x\\
 \end{array}$$
-Die gesuchte Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ liegt also mit ihrer Basis $e$ irgendwo zwischen $2,7$ und $3$
+Die gesuchte Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ liegt also mit ihrer Basis $e$ irgendwo zwischen $2,7$ und $2,8$
 </beispiel>
 <merksatz w1>
@@ Zeile 101: / Zeile 100: @@
 Die Zahl $e$ ist definiert durch $\lim_{h\to 0}{\frac{e^h-1}{h}=1}$, der Wert der Eulerschen Zahl beträgt ca. $e\approx2,718...$
+Den zur eulerschen Zahl zugehörigen Logarithmus $\log_e(x) = \log_{2,718...}(x)$ nennt man auch den **natürlichen Logarithmus** und man bezeichnet ihn mit $ln(x)$ (logarithmus naturalis).
 </bbox>
 </merksatz>
+<aufgabe w1|**Aufgabe 3**>
+**a)** Gegeben sei die Funktion $f(x)=e^x$. Berechne, für welches $x$ die Funktion den Wert $f(x)=2$ annimmt.
+**b)** Bearbeite im Buch S. 223 das Beispiel, verwende GeoGebra um die Graphen zu zeichnen. Bearbeite anschließend Aufgabe 5 auf S. 223.
+</aufgabe>
 </grid>