Lineare Funktionen

Definition "lineare Funktion"

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung der Form $f(x)=m \cdot x + b$ nennt man lineare Funktion.

Der Parameter $m$ heißt Steigung von $f$.
Der Parameter $b$ heißt y-Achsenabschnitt.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Übersicht lineare Funktion (Daniel Jung)

Definition "Differenzenquotient (Steigung)"

Wenn $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ unterschiedliche Punkte auf dem Graphen von $f$ sind, berechnet man die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten:

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Den Differenzenquotienten kann man mit dem Steigungsdreieck veranschaulichen (Fig. 1).

Erläuterung Steigung (LehrerSchmidt)

Definition "y-Achsenabschnitt"

Der y-Achsenabschnitt einer Linearen Funktion ist der y-Wert, bei dem die Funktion die y-Achse schneidet (Fig .1).

Den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion erhält man, indem man den Funktionswert der Funktion für den x-Wert $0$ bestimmt, also $f(0)$ berechnet.

Definition "Nullstelle"

Die Nullstelle einer Linearen Funktion ist der x-Wert, bei dem die Funktion die x-Achse schneidet.

Die Nullstelle einer linearen Funktion erhält man, indem man $f(x)=0$ setzt und nach $x$ auflöst.

Fig. 1: Steigungsdreieck & y-Achsenabschnitt

Beispiel: lineare Funktion

Die Zuordnung Anzahl Brötchen $\rightarrow$ Preis aus der Definition von Funktionen ist eine lineare Funktion

Die Funktionsgleichung ist $f(x)=0.6\cdot x$.
Die Steigung dieser Funktion ist $m=0.6$.
Der y-Achsenabschnitt dieser Funktion ist $f(0)=0$.

Graph

Aufgabe: Nullstelle bestimmen

Gegeben sei die Funktion $f(x)=-\frac{1}{2}\cdot x + 2$. Bestimme die Nullstelle.

Nullstellen bestimmen (LehrerSchmidt)

graphische Lösung

Zeichne den y-Achsenabschnitt ein.
Zeichne das Steigungsdreieck ein: 1 Schritt nach rechts, 0.5 Schritte nach unten (negatives Vorzeichen!)
Verbinde die so entstandenen Punkte $(0,2)$ und $(1,1.5)$ durch eine Gerade $f$
Markiere den Schnittpunkt der Geraden $f$ mit der x-Achse.
Der so entstandene Punkt $(4,0)$ ist die Nullstelle.

rechnerische Lösung

$$\begin{align} f(x)&=0 &&\\ -\frac{1}{2}\cdot x\color{red}{+2}&=0 &&|\color{red}{-2}\\ \color{blue}{-\frac{1}{2}\cdot} x&=-2 &&|\color{blue}{:(-\frac{1}{2})}\\ x&=4&&\\ \end{align}$$

Setze $f(x)=0$ und forme die so entstandene Gleichung so um, dass x alleine steht!
Äquivalenzumformung $\color{red}{-2}$, um den Summanden $\color{red}{+2}$ zu eliminieren.
Äquivalenzumformung $\color{blue}{:(-\frac{1}{2})}$, um den Faktor $\color{blue}{-\frac{1}{2}}$ zu eliminieren.
Am Ende steht $x=4$, also ist die gesuchte Nullstelle im Punkt $(4,0)$.

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