Zahl und Operation

Zahlen:

• Natürliche Zahlen
• Vorstellungsaufbau im Bereich der negativen Zahlen
• Brüche als Teil eines Ganzen, als Teil mehrerer Ganzer, als Maßzahl und zur Beschreibung von Verhältnissen
• Dezimalbrüche (abbrechend, periodisch) und Begründung für Abbruch bzw. Periodizität
• Einfache Prozentangaben
• Vergleichen, Ordnen von natürlichen und gebrochenen Zahlen (gewöhnliche Brüche, Dezimalbrüche)
• Runden von natürlichen Zahlen und Dezimalbrüchen
• Teilbarkeit, Teiler und Vielfache (ggT, kgV, Primzahlen)
• Darstellungen (Zahlenstrahl, Kreisdiagramm)

Operationen und ihre Eigenschaften:

• Grundrechenarten und Rechengesetze für natürliche und gebrochene Zahlen
• Strategien zum vorteilhaften Rechnen
• Grundaufgaben der Bruchrechnung und der Prozentrechnung

Raum und Form

Ebene Figuren:

• Grundfiguren (Quadrat, Rechteck, Dreieck, Kreis) und zusammengesetzte Flächen
• Konstruktion von Figuren und Mustern
• Symmetrieeigenschaften (Achsen und Drehsymmetrie) von Grundfiguren
• Kartesisches Koordinatensystem im ersten Quadranten

Körper:

• Grundkörper (Quader, Würfel) und zusammengesetzte Körper
• Beschreibung von Volumen und Oberflächeninhalt der Grundkörper
• Modelle, Schrägbilder und Netze der Grundkörper

Beziehungen zwischen geometrischen Objekten:

• Fachbegriffe parallel, senkrecht, Abstand
• Bewegungen von Figuren: Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen

Größen und Messen

Umgang mit Größen:

• Größenvorstellungen
• Einheitsquadrat, Einheitswürfel
• Repräsentanten, Schätzungen und Überschlagsrechnungen
• Runden
• Umrechnung von Größen
• Vorsilben von Einheiten

Messvorgänge:

• Länge
• Masse/Gewichte
• Währung/Geld
• Zeitspanne
• Winkel
• Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck
• Volumen und Oberflächeninhalt der Grundkörper

Funktionaler Zusammenhang

Zuordnungen und ihre Darstellungen:

• Grundvorstellungen zu Zuordnungen von Größen
• Darstellung der Zuordnungen in Schaubildern und Tabellen und in sprachlicher Form

Daten und Zufall

statistische Erhebungen und ihre Auswertung:

• Umfragen und Erhebungen (Planung, Durchführung und statistische Auswertung)
• Kenngrößen (Häufigkeiten, Median, arithmetisches Mittel, Spannweite)
• Darstellung von Daten (Listen und Diagramme)

Umgang mit dem Zufall:

• Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen
• Verschiedene Vorstellungen vom Wahrscheinlichkeitsbegriff
• Absolute und relative Häufigkeiten

Darstellen

Die Lernenden…

• erkennen Grundstrukturen und Grundmuster in der Lebensumwelt wieder und stellen sie sachgerecht dar,
• entwickeln Darstellungen,
• verwenden unterschiedliche Darstellungsformen und beschreiben Beziehungen zwischen ihnen,
• vergleichen Darstellungen miteinander und bewerten diese.

Kommunizieren

Die Lernenden…

• beschreiben Vorgehensweisen,
• vollziehen mathematische Argumentationen anderer nach und überprüfen sie,
• präsentieren, erläutern und überprüfen Arbeitsergebnisse sowie die zugrunde liegenden Überlegungen und Strategien,
• verwenden die eingeführten Fachbegriffe und Darstellungen.

Argumentieren

Die Lernenden…

• hinterfragen und verdeutlichen mathematische Sachverhalte und überprüfen diese,
• äußern begründete Vermutungen über mathematische Zusammenhänge und stellen Vergleiche an,
• setzen mathematische Begriffe und deren anschauliche Konkretisierung zueinander in Beziehung,
• beschreiben, vergleichen und bewerten unterschiedliche Verfahren, Lösungswege und Argumentationen.

Umgehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen

Die Lernenden…

• deuten Variable als Platzhalter in Gleichungen zur symbolischen Darstellung mathematischer Probleme und von Sachsituationen,
• übersetzen in Sachzusammenhängen Fachsprache in Umgangssprache und umgekehrt und verwenden geeignete Symbole,
• erstellen einfache Tabellen und Diagramme und entnehmen diesen Daten und Werte,
• führen Lösungs und Kontrollverfahren aus,
• nutzen angemessen die Werkzeugkiste mit Messgeräten, Lineal, Geodreieck und Zirkel.

Problemlösen

Die Lernenden…

• erfassen in Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen, formulieren diese in eigenen Worten und entwickeln Lösungsideen,
• wenden heuristische Problemlösestrategien und mathematische Verfahren zur Lösung einfacher Alltagsprobleme an,
• entnehmen einer anwendungsbezogenen Problemstellung die zu ihrer Lösung relevanten Daten,
• interpretieren Ergebnisse mit Blick auf das zu lösende Problem,
• reflektieren Lösungswege.

Modellieren

Die Lernenden…

• entnehmen Sachtexten und Darstellungen aus der Lebenswirklichkeit Informationen,
• übersetzen Sachprobleme der Realität in mathematische Modelle,
• arbeiten innerhalb des gewählten mathematischen Modells,
• interpretieren die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen in der Realsituation und überprüfen sie,
• bewerten das gewählte Modell,
• formulieren zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben.

Zahl und Operation

Zahlen:

• Rationale Zahlen
• Reelle Zahlen (Wurzeln und die Zahl $\pi$ als Proportionalitätsfaktor)
• Darstellungen (Zahlengerade, Dezimalbrüche)
• Vergleichen, Ordnen und Runden von rationalen und reellen Zahlen
• Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

Operationen und ihre Eigenschaften:

• Rechenverfahren, Rechengesetze und deren Verknüpfungen im Bereich der rationalen und reellen Zahlen
• Klammern, Binome
• Potenzen mit rationalen Exponenten
• Terme und Variable
• Grundaufgaben der Prozent und Zinsrechnung
• Prozentrechnen mit erhöhtem und vermindertem Grundwert
• Prozente von Prozenten

Raum und Form

Ebene Figuren:

• Grundfiguren (Parallelogramm, Trapez, Raute, Drachen, Kreis)
• Haus der Vierecke
• Konstruktionen mit Zeichengeräten und dynamischer Geometriesoftware
• Symmetrieeigenschaften von Figuren
• Kartesisches Koordinatensystem in allen vier Quadranten

Körper:

• Grundkörper (Prisma, Kreiszylinder)
• Beschreibung von Volumen und Oberflächeninhalt beim Prisma
• Modelle, Schrägbilder und Netze bekannter Körper

Beziehungen zwischen geometrischen Objekten:

• Fachbegriffe (Kongruenz, Symmetrie)
• Satz des Pythagoras und seine Umkehrung einschließlich exemplarischer vollständiger Beweise
• Satz des Thales
• Ähnlichkeit, zentrische Streckungen, Strahlensätze

Größen und Messen

Umgang mit Größen :

• Zusammengesetzte Figuren
• Größen von Winkeln (Minuten, Sekunden)
• Winkelsummensatz und die Winkelsätze an Geradenkreuzungen

Messvorgänge:

• Flächeninhalt und Umfang von Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Raute, Drachen, Kreis
• Volumen und Oberflächeninhalt beim Prisma

Funktionaler Zusammenhang

Zuordnungen und ihre Darstellungen :

• Proportionale und antiproportionale Zuordnungen und ihre Eigenschaften
• Dreisatzmethoden
• Darstellung der proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form

Funktionen und Gleichungen :

• Lösen von linearen Gleichungen
• Vergleich des Vorgehens beim Lösen von linearen Gleichungen
• Lineare Funktionen und ihre Eigenschaften
• Lösen von Ungleichungen

Daten und Zufall

statistische Erhebungen und ihre Auswertung:

• Darstellung von Daten in Diagrammen (Boxplot, Säulendiagramm, Kreisdiagramm) und Tabellen
• Lage und Streumaße

Umgang mit dem Zufall :

• Zweistufige Zufallsexperimente
• Baumdiagramme und Vierfeldertafeln
• Pfadregeln

Darstellen

Die Lernenden …

• erkennen Grundstrukturen und Grundmuster in der Lebensumwelt wieder und stellen sie sachgerecht dar,
• entwickeln Darstellungen,
• erstellen differenzierte und übersichtliche Darstellungsformen und wechseln zwischen ihnen,
• vergleichen Darstellungen miteinander und bewerten diese.

Kommunizieren

Die Lernenden …

• beschreiben Vorgehensweisen,
• vergleichen, diskutieren und bewerten unterschiedliche Lösungswege, Argumentationen und Ergebnisse sachgerecht,
• präsentieren, erläutern und überprüfen Arbeitsergebnisse sowie die zugrunde liegenden Überlegungen und Strategien,
• verwenden die eingeführten Fachbegriffe und Darstellungen.

Argumentieren

Die Lernenden …

• begründen mathematische Sachverhalte, Regeln und Rechenverfahren und überprüfen diese,
• äußern begründete Vermutungen über mathematische Zusammenhänge und stellen Vergleiche an,
• setzen mathematische Begriffe und deren anschauliche Konkretisierung zueinander in Beziehung,
• vollziehen mathematische Argumentationen nach, bewerten sie und begründen sachgerecht.

Umgehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen

Die Lernenden …

• stellen einfache Sachzusammenhänge durch Funktionen dar,
• übersetzen in Sachzusammenhängen Fachsprache in Umgangssprache und umgekehrt und verwenden geeignete Symbole,
• nutzen Software zur Darstellung und Manipulation funktionaler Zusammenhänge,
• führen Lösungs und Kontrollverfahren aus,
• setzen mathematische Werkzeuge sinnvoll und verständig ein Werkzeuge: –Standardfunktionen des Taschenrechners –Formelsammlungen –dynamische Geometriesoftware –Tabellenkalkulationssoftware –Funktionsplotter –CAS.

Problemlösen

Die Lernenden …

• erfassen in Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen, formulieren diese in eigenen Worten und entwickeln Lösungsideen,
• wenden heuristische Problemlösestrategien und mathematische Verfahren bewusst zur Lösung einfacher Alltagsprobleme an,
• nutzen unterschiedliche Darstellungsformen und Verfahrensweisen zur Problemlösung,
• entnehmen einer anwendungsbezogenen Problemstellung die zu ihrer Lösung relevanten Daten,
• interpretieren Ergebnisse mit Blick auf das zu lösende Problem,
• reflektieren Lösungswege.

Modellieren

Die Lernenden …

• entnehmen Sachtexten und Darstellungen aus der Lebenswirklichkeit relevante Informationen,
• übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle,
• arbeiten innerhalb des gewählten mathematischen Modells,
• interpretieren die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen in der Realsituation und modifizieren ggf. das verwendete Modell,
• bewerten das gewählte Modell,
• geben für mathematische Modelle typische Realsituationen an.

Raum und Form

Körper:

• Grundkörper (Pyramide, Kegel, Kugel)
• Körper aus der Technik und der Lebensumwelt
• Beschreibung von Volumen und Oberflächeninhalt bei Pyramide, Kegel, Kugel
• Modelle, Schrägbilder und Netze bekannter Körper

Beziehungen zwischen geometrischen Objekten:

• Trigonometrischen Beziehungen ($sin$, $cos$, $tan$) bei rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken

Größen und Messen

Messvorgänge:

• Berechnungen in Dreiecken und Vielecken (Anwendungen aus Technik und Physik)
• Volumen und Oberflächeninhalt bei Pyramide, Kegel, Zylinder, Kugel

Funktionaler Zusammenhang

Zuordnungen und ihre Darstellungen :

• Grundvorstellungen zu nichtproportionalen funktionalen Zusammenhängen
• Darstellung der Zuordnungen in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form

Funktionen und Gleichungen :

• Lösen von quadratischen Gleichungen
• Lösen von linearen $2 \times 2$-Gleichungssystemen
• Einfache Potenzfunktionen
• Exponentialfunktionen
• Sinusfunktion und ihre wesentlichen Eigenschaften
• Darstellung von Funktionen (Funktionsgleichung, Tabelle, Graph)

Daten und Zufall

Umgang mit dem Zufall :

• Mehrstufige Zufallsexperimente

Darstellen

Die Lernenden …

• wählen die Darstellungsform adressatengerecht und sachangemessen aus und bereiten sie präsentationsgerecht auf,
• entwickeln Darstellungen,
• erkennen Beziehungen zwischen verschiedenen Darstellungsformen und wechseln zwischen ihnen,
• interpretieren und bewerten Darstellungen.

Kommunizieren

Die Lernenden …

• beschreiben Vorgehensweisen,
• stellen unterschiedliche Lösungswege vor, erläutern, vergleichen und bewerten diese
• dokumentieren Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse, stellen diese adressatengerecht dar und präsentieren sie, auch unter Nutzung geeigneter Medien,
• verwenden die Fachsprache adressatengerecht.

Argumentieren

Die Lernenden …

• stellen Fragen nach Verallgemeinerung und Spezifikation mathematischer Sachverhalte und prüfen diese auf Korrektheit,
• äußern begründete Vermutungen über mathematische Zusammenhänge und stellen Vergleiche an,
• analysieren, erläutern und begründen mathematische Aussagen und Verfahren auch durch mehrschrittige Argumentationsketten,
• vollziehen mathematische Argumentationen nach, bewerten sie und begründen sachgerecht.

Umgehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen

Die Lernenden …

• arbeiten formal mit Variablen, Termen und Gleichungen,
• übersetzen in Sachzusammenhängen Fachsprache in Umgangssprache und umgekehrt und verwenden geeignete Symbole,
• erstellen Tabellen und Diagramme und entnehmen diesen Daten und Werte,
• führen Lösungs und Kontrollverfahren aus,
• setzen mathematische Werkzeuge wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software, Messgeräte sinnvoll und verständig ein. Dabei wählen sie die Werkzeuge unter Berücksichtigung der Kriterien Genauigkeit, Zeitökonomie und Fehleranfälligkeit aus.

Problemlösen

Die Lernenden …

• erfassen in Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen, formulieren diese in eigenen Worten und entwickeln Lösungsideen,
• wählen geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen aus, wenden sie an und bewerten Lösungswege,
• nutzen unterschiedliche Darstellungsformen und Verfahrensweisen zur Problemlösung,
• entnehmen Problemstellungen die relevanten Größen und beschreiben die Abhängigkeit zwischen ihnen,
• interpretieren Ergebnisse mit Blick auf das zu lösende Problem,
• reflektieren Lösungswege.

Modellieren

Die Lernenden …

• entnehmen Informationen aus komplexen, nicht vertrauten Situationen und aus unterschiedlichen Informationsquellen
• übersetzen mit Hilfe mathematischer Begriffe den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in bekannte mathematische Strukturen und Zusammenhänge unter Berücksichtigung von Einflussfaktoren und Abhängigkeiten,
• arbeiten innerhalb des gewählten mathematischen Modells und übersetzen die Ergebnisse zurück in die Realsituation,
• prüfen und interpretieren Ergebnisse in Realsituationen unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells,
• bewerten das gewählte Modell,
• geben für mathematische Modelle typische Realsituationen an