Zinseszinsen

Zinseszinsen

Legt man sein Geld stattdessen für mehr als ein Jahr an, werden in der Regel die Zinsen in den Folgejahren mit verzinst, man erhält also Zinsen für die Zinsen. Das nennt man Zinseszinsen.

Beispiel 1: Zinseszinsen berechnen

Herr Müller legt 3000€ für drei Jahre bei einem Zinssatz von 2,5% an. Welches Guthaben hat sein Sparkonto nach Ablauf der drei Jahre?

Lösung:
Auch hier berechnen wir zunächst einmal die Jahreszinsen:

$$Z=\frac{K}{100}\cdot p\%=\frac{3000€}{100}\cdot 2,5\%=75€$$

Für das erste Jahr sind es also $75€$ Zinsen, also $3000€ + 75€ = 3075€$ Guthaben. Dieses Guthaben nehmen wir jetzt als Kapital für das 2. Jahr:

$$Z=\frac{3075€}{100}\cdot 2,5\%=76,88€$$

Nach dem zweiten Jahr sind es also $76,88€$ Zinsen und somit schon $3075€ + 76,88€ = 3151,88€$ Guthaben. Diese Rechnung macht man jetzt noch ein letztes mal:

$$Z=\frac{3151,88€}{100}\cdot 2,5\%=78,80€$$

Also sind es nach drei Jahren $78,80€$ Zinsen und $3151,88€ + 78,80€ = 3230,68€$ Guthaben. Leichter lässt sich das in einer Tabelle darstellen:

Jahr	Kapital	Zinsen	Guthaben
1	$3000€$	$Z=\frac{3000€}{100}\cdot 2,5\%=75€$	$3075€$
2	$3075€$	$Z=\frac{3075€}{100}\cdot 2,5\%=76,88€$	$3151,88€$
3	$3151,88€$	$Z=\frac{3151,88€}{100}\cdot 2,5\%=78,80€$	$3230,68€$

Beispiel 2: Zinseszins mit Zinssatz über 100% berechnen

Einfacher wird das Beispiel links, wenn wir mit Zinssätzen über 100% rechnen, da wir dann direkt das Guthaben ausrechnen und nicht noch die Zinsen zum Kapital addieren müssen:

Jahr	Kapital	Guthaben
1	$3000€$	$\frac{3000€}{100}\cdot 102,5\%=3075€$
2	$3075€$	$\frac{3075€}{100}\cdot 102,5\%=3151,88€$
3	$3151,88€$	$\frac{3151,88€}{100}\cdot 102,5\%=3230,68€$

Beispiel 3: Zinseszins mit Potenzen berechnen

Nun ist die Frage: Geht es noch einfacher? Die Antwort ist: Ja! Im Endeffekt haben wir drei mal nacheinander die gleiche Rechnung¹⁾ ausgeführt, ausgehend vom Startkapital von 3000€:

$$3000€\cdot\frac{102,5\%}{100}\cdot\frac{102,5\%}{100}\cdot\frac{102,5\%}{100}$$

Das kann man verkürzt auch mit einer Potenz darstellen:

$$3000€\cdot\left(\frac{102,5\%}{100}\right)^3\approx 3230,67€$$

Anmerkung: Der eine Cent Unterschied kommt daher, dass wir in der Tabelle oben immer wieder gerundet haben. Dementsprechend ist das Rechnen mit der Potenz sogar genauer!

Um das Gesamtkapital $K_n$ bei einer Laufzeit von $n$ Jahren zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder man berechnet das Gesamtkapital am Ende jedes Jahres einzeln, am besten in einer Tabelle, oder man benutzt die Formel

$$K_n=K_0\cdot\left(\frac{100\% + p\%}{100}\right)^n$$

$K_0$ ist das Startkapital,
$K_n$ ist das Kapital nach $\bf n$ Jahren
$p\%$ ist der Zinssatz.

Video zum Zinseszins

Aufgabe:

a) Übertragt den Merksatz oben links in euer Heft.

b) Schaut euch das Video oben rechts an.

c) Bearbeitet im Buch S. 95 / Nr. 6 + 10, S. 96 / Nr. 16, S. 97 / 22

¹⁾

$\frac{3000€}{100}\cdot 102,5\%$ ist das gleiche wie $3000€\cdot\frac{102,5\%}{100}$. Warum? Bruchgesetze nachschlagen!