Kreisumfang

Teil 1 - Experimentieren

Wie war das nochmal mit dem Umfang??

Bei Vierecken war das leicht. Einfach alle vier Seitenlängen addieren. Das Viereck unten hat also den Umfang $$U=a+b+c+d$$

Man misst einfach jede einzelne Seitenlänge mit dem Geodreieck aus und kommt dann am Ende auf $$U=3.7cm+3.5cm+4.2cm+6.3cm=17.7cm$$

Aber wie funktioniert das beim Kreis?

Umfang messen: Maßband

Umfang messen: Schnur + Lineal

Aufgabe 1

a) Sieh dir die beiden Videos "Umfang messen: Maßband" und "Umfang messen: Schnur + Lineal" an. Hier wird erklärt, wie man den Umfang eines Kreises messen kann.

b) Miss 10 verschiedene Kreise in deinem Haushalt mit einer der beiden Methoden und trage deine Ergebnisse in eine Tabelle ein:

Gegenstand	Durchmesser	Umfang	$\frac{U}{d}$
Gegenstand	$d$	$U$	$\frac{U}{d}$
Klopapierrolle	$11cm$	$35cm$	$\frac{35cm}{11cm}=3.18$
Tasse
Klebeband
…
…

c) Was fällt dir beim Quotienten $\frac{U}{d}$ auf? Notiere deine Beobachtung.

Teil 2 - Regelmäßigkeiten finden

Der Quotient $\frac{U}{d}$

Bei Aufgabe 1b) sieht man, dass bei allen Gegenständen der Umfang etwa drei mal so groß ist wie der Durchmesser. Um dieses Verhältnis etwas besser berechnen zu können, bildet man den Quotienten $\frac{U}{d}$ aus Umfang $U$ und Durchmesser $d$ des Kreises.

Tatsächlich ist der Quotient $\frac{U}{d}$ bei allen Kreisen stets gleich¹⁾, der Umfang ist also proportional zum Durchmesser. Dieser Proportionalitätsfaktor heißt Kreiszahl und wird mit dem griechischen Buchstaben $\pi$ (Pi) bezeichnet.

Merksatz: Umfang eines Kreises

Für den Umfang $U$ eines Kreises mit dem Durchmesser $d$ gilt: $U=\pi\cdot d$.

Für den Umfang $U$ eines Kreises mit dem Radius $r$ gilt: $U=\pi\cdot 2\cdot r$.

Für die Kreiszahl $\pi$ gilt: $\pi\approx 3.14$.

Aufgabe 2

a) Übertrage den Merksatz oben in dein Heft.

b) Lies dir die Beispiele unten durch und notiere die Rechnungen in dein Heft. Schaue dir zur Erklärung die Videos an!

Beispiel 1: Umfang berechnen

Wie kann man sich also nun das umständliche Messen des Umfangs mit einem kleinen Rechentrick sparen? Wir müssen nur den Radius oder den Durchmesser messen!

Beispiel 1: Durchmesser gegeben
Berechne den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser $d=4cm$.

$$U=\pi\cdot d\approx 3.14\cdot 4cm\approx 12.56cm$$

Beispiel 2: Radius gegeben
Berechne den Umfang eines Kreises mit dem Radius $r=3cm$.

$$U=\pi\cdot 2\cdot r\approx 3.14\cdot 2 \cdot 3cm\approx 18.84cm$$

Umfang berechnen

Beispiel 2: Radius oder Durchmesser berechnen

Aber was ist, wenn wir nur den Umfang eines Kreises kennen, und den Radius oder Durchmesser wissen wollen? Dann können wir die Formeln umstellen (Termumformung!):

$r=\frac{U}{2\cdot\pi}$ bzw. $d=\frac{U}{\pi}$

Beispiel 1: Durchmesser berechnen
Berechne den Durch eines Kreises mit dem Umfang $U=12.56cm$.

$$d=\frac{U}{\pi}\approx\frac{12.56cm}{3.14}\approx 4cm$$

Beispiel 2: Radius berechnen
Berechne den Radius eines Kreises mit dem Umfang $U=18.84cm$.

$$r=\frac{U}{2\cdot\pi}\approx\frac{18.84cm}{2\cdot 3.14}\approx 3cm$$

Radius oder Durchmesser berechnen

Aufgabe 3

a) Übertrage die umgestellten Formeln aus dem Beispiel 2 oben als Merksatz in dein Heft.

Teil 3 - Üben

Aufgabe 4

a) Bearbeite im Buch die folgenden Aufgaben: S. 71 Nr. 1, 2, 3, 4

b) Bearbeite das Quiz unten.

Quiz

¹⁾

Die Unterschiede in Aufgabe 1b) kommen nur durch Messungenauigkeiten zustande.