Die Dreiecksungleichung

Du weißt, dass man ein Dreieck konstruieren kann, wenn man die Längen von drei Seiten kennt. Aber ist eine Konstruktion wirklich immer möglich? Und kann man das vor dem Konstruieren erkennen? Wenn ja, kann man sich ja viel Arbeit sparen.

Arbeitsauftrag 1

a) Konstruiere, wenn möglich die beiden Dreiecke. Zeichne zunächst eine Planfigur.

1. Dreieck A mit a= 3,5cm, b= 4cm und c=5cm 
2. Dreieck B mit a= 4cm,b= 1cm und c=2cm

b) Beschreibe, welches der beiden Dreiecke du konstruieren konntest. Beschreibe die Konstruktionsschritte und erläutere bei jenem Dreieck, das du nicht konstruieren konntest, warum du nicht weiter gekommen bist.

c) Stelle eine Vermutung auf, weswegen das eine Dreieck nicht zu konstruieren ist.

Ich weiß nicht, wie man ein Dreieck konstruiert… Hilfe

Du weißt nicht mehr, wie man ein Dreieck mit drei Seitenlängen konstruiert? Dann lies im Buch S. 192 die Konstruktionsbeschreibung nach.

Arbeitsauftrag 2

Untersuche mit dem folgenden GeoGebra Applet rechts, ob ein Dreieck mit den vier Seitenlängen konstruiert werden kann. Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke auf diesen Link.

Bearbeite folgende Aufträge:

a)

Verändere die Seitenlängen in GeoGebra nach den Angaben in der Tabelle und entscheide jeweils, ob das Dreieck konstruierbar ist. Du kannst du Seitenlängen verändern, indem du die Punkte an den Reglern unter der Graphik bewegst.
Addiere die Seitenlängen, wie in der Tabelle oben rechts angegeben wird. Entscheide, ob die Summe der Seitenlängen größer als die Seitenlänge ist, die nicht addiert wurde. Die Hilfe in GeoGebra (Kasten anklicken) kann dich dabei unterstützen.

b) Erläutere, in welchen Fällen ein Dreieck unter Angabe der Seitenlänge konstruierbar ist. Diese Begriffe können dir helfen: Summe, größer als, Seitenlänge.

c) Vergleiche deine Lösung aus c mit dem Merksatz auf S. 192 im Buch grüner Kasteb ganz unten.

Du kommst nicht weiter? Hilfe

Tabelle

	a=	b=	c=	konstruierbar
i)	3cm	4cm	5cm	ja/nein
ii)	3cm	1cm	5cm	ja/nein
iii)	3cm	3cm	5cm	ja/nein
iv)	1cm	4.5cm	1cm	ja/nein
v)	3.5cm	2cm	3cm	ja/nein

GeoGebra

Arbeitsauftrag 3

Überprüfe mit den Ergebnissen aus dem Arbeitsauftrag 2 ob deine Vermutung aus Aufgabe 1c) stimmt.

Übungsaufgaben

Zum Üben und Festigen

Aufgabe 1

Löse im Buch S. 193 Nr. 6. Es reicht, wenn du begründest, warum ein Dreieck konstruierbar ist. Du musst diese nicht konstruieren.

Aufgabe 2:

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen c= 7cm und a= 4 cm.

a) Ergänze die Seitenlänge c, sodass das Dreieck konstruieren lässt.

b) Nenne eine mögliche Seitenlänge c, mit der das Dreieck ABC nicht konstruierbar ist. Begründe.

Aufgabe 3:

a) Moritz behauptet: „Bei einem gleichschenkligen Dreieck muss ich nur zwei Größen kennen, um es eindeutig konstruieren zu können.“ Was meinst du dazu?

b) Moritz unterstreicht seine Behauptung, indem er einen Kongruenzsatz für „gleichschenklige Dreiecke“ formuliert. Wie könnte dieser lauten?

c) Nenne und begründe die Angaben für den Kongruenzsatz SSS, die man kennen muss, um ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren.