Frederik und die Piraten
Lies dir den unten stehenden Comic durch.
Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion am Einheitskreis
Aufgabe 1 - Das Dreieck im Einheitskreis
Klickt in GeoGebra unten links auf das Play-Symbol, um zu sehen, wie sich Sinus und Kosinus verhalten, wenn man den Winkel verändert. Macht euch folgende Notizen:
- Beobachtet das Dreieck. Macht euch klar, wie die Werte für $sin(\alpha)$ und $cos(\alpha)$ zustande kommen. Wie war das nochmal mit
GAGA-HHAG? - Beobachtet den Wert für $sin(\alpha)$. Was passiert, wenn $P_\alpha$ den 3. und 4. Quadranten durchläuft?
- Beobachtet den Wert für $cos(\alpha)$. Was passiert, wenn $P_\alpha$ den 2. und 3. Quadranten durchläuft?
Aufgabe 2 - Die Sinusfunktion
Setzt das Häckchen bei
sin, um die Sinus-Funktion angezeigt zu bekommen. Es wird ein neuer Punkt $P_{sin}$ angezeigt. Macht euch folgende Notizen:- Beobachtet $P_{sin}$ und notiert euch, was passiert.
- In welchem Bereich liegen die Funktionswerte der Sinusfunktion?
- Welche Aussagen könnt ihr zur Symmetrie der Sinusfunktion machen?
- Wo liegen die Nullstellen der Sinusfunktion?
- Was würde passieren, wenn $\alpha$ größer als 360° werden würde (wenn der Einheitskreis also mehrere "Umdrehungen" durchlaufen würde)? Wie würde die Sinusfunktion weiter aussehen?
Aufgabe 3: Die Kosinusfunktion
Setzt das Häckchen bei
cos, um die Kosinus-Funktion angezeigt zu bekommen. Es wird ein neuer Punkt $P_{cos}$ angezeigt. Macht euch folgende Notizen:- Beobachtet $P_{cos}$ und notiert euch, was passiert.
- In welchem Bereich liegen die Funktionswerte der Sinusfunktion?
- Welche Aussagen könnt ihr zur Symmetrie der Sinusfunktion machen?
- Wo liegen die Nullstellen der Sinusfunktion?
- Was würde passieren, wenn $\alpha$ größer als 360° werden würde (wenn der Einheitskreis also mehrere "Umdrehungen" durchlaufen würde)? Wie würde die Kosinusfunktion weiter aussehen?
Eigenschaften der Sinusfunktion
- Alle reellen Zahlen können in die Sinus- und Kosinusfunktion eingesetzt werden (Definitionsbereich $\mathbb{R}$) und die Werte, die die Funktion annimmt liegen zwischen -1 und 1 (Wertebereich $[-1 ; 1]$).
- Sinus- und Kosinusfunktion sind periodisch. Die Länge einer Periode beträgt $2 \pi$. Durch diesen Zusammenhang erhält man durch addieren von $2 \pi$ immer wieder den gleichen Funktionswert ($sin (x+ k \cdot 2\pi ) = sin(x)$ fär alle reellen Zahlen $k$ z.B. $sin(\pi + 2 \cdot 2 \pi) = sin(\pi))$.
- Der Graph der Kosinusfunktion geht aus dem Graphen der Sinusfunktion lediglich durch eine Verschiebung hervor. Wenn der Graph der Kosinusfunktion um $\frac{\pi}{2}$ verschoben wird, ist er identisch mit der Sinusfunktion.
- Der Graph der Sinusfunktion ist Punktsymmetrisch zum Ursprung, der Graph der Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei ganzzahligen Vielfachen von $\pi$, also z.B. bei $3\pi$, $6\pi$ oder $42\pi$. Da der Graph der Kosinusfunktion lediglich um $\frac{\pi}{2}$ verschoben ist, liegen die Nullstellen der Kosinusfunktion bei $\frac{\pi}{2} + k \pi$ für ganzzahlige $k$.