Graph Dance
Definition "Potenzfunktion"
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung in der Form $f(x)=a \cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ nennt man Potenzfunktion.
Beispiele:
- $f(x) = 3x^2$
- $g(x) = \frac{2}{3}x^6$
- $h(x) = -7x^4$
Aufgabe 1 - Wertetabelle
In der abgebildeten Wertetabelle sind Potenzfunktionen vom Grad zwei bis Grad sechs, das bedeutet, dass der Exponent zwischen den Werten 1 und 6 liegt.
- Bevor du die Wertetabelle ausfüllst, stelle Vermutungen zu den Potenzfunktionen auf, indem du die folgenden Fragen beantwortest:
- In welchen Einträgen der Tabelle werden negative Zahlen stehen?
- In welchen Einträgen der Tabelle werden positive Zahlen stehen?
- In welchen Spalten sind alle Einträge gleich?
- In welchem Eintrag wird die größte, in welchem die kleinste Zahl stehen?
- Fülle die Tabelle aus.
- Punkt- und Achsensymmetrie sind Eigenschaften aus der Geometrie, die sich auf Funktionen übertragen lassen. Beschreibe, welche Potenzfunktionen punkt- und welche achsensymmetrisch sind. Begründe mit der Wertetabelle.
Wertetabelle
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0,5$ | $-0,25$ | $0$ | $0,25$ | $0,5$ | $1$ | $2$ | $3$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f$ | |||||||||||
| $f(x)=x$ | |||||||||||
| $f(x)=x^2$ | |||||||||||
| $f(x)=x^3$ | |||||||||||
| $f(x)=x^4$ | |||||||||||
| $f(x)=x^5$ | |||||||||||
| $f(x)=x^6$ |
Aufgabe 2 - Beautiful Dance Moves
Das Aussehen von Potenzfunktionen kann man mit den Armen nachstellen. In dem Bild rechts (Quelle: http://pixabay.com) könnte eine Potenzfunktion der Art $f(x) = x^2$ dargestellt sein. Führt die folgenden Choreographien durch und überprüft die Bewegung mit Hilfe von GeoGebra:
- $x^2$, $x^4$, $x^6$, $x^8$
- $x^3$, $x^2$, $x^3$, $x^2$
- $x^{100}$, $x^2$, $x^{100}$, $x^2$
- $-x^2$, $x^2$, $x$, $-x$, $x^3$, $-x^3$
Aufgabe 3
Beschreibe das Aussehen von Potenzfunktionen $f(x)= \pm a x^n$ allgemein. Fertige auch jeweils eine Skizze an und beschreibe wie sich der Graph mit wachsendem $n$ sowohl in negativer als auch positiver Richtung verändert.
Überlege für das Symmetrieverhalten, welche Regelmäßigkeit in Bezug auf die Exponenten du dabei erkennen kannst. Interessant ist hierbei Achsen- und Punktsymmetrie.
Tabelle zu Aufgabe 3
Aufgabe 4
Formuliere einen Merksatz zum Verlauf der Graphen von Potenzfunktionen. Verwende dabei die Fachbegriffe wie z.B. Potenz, Basis und Vorfaktor sowie die Namen der Quadranten.
Merksatz - Verlauf der Graphen
Aufgabe 5
Formuliere einen Merksatz zur Symmetrie von Potenzfunktionen. Verwende dabei die Fachbegriffe
Merksatz - Symmetrie
Übung 1 - Potenzfunktionen zuordnen