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EXPONENTIELLES WACHSTUM - 42 mal Falten bis zum Mond¹⁾

Wenn sich eine Menge Schritt für Schritt verdoppelt, sprechen Mathematiker von "exponentiellem Wachstum". Das sieht zunächst harmlos aus, wie die Legende vom König zeigt: Auf das erste Feldeines Schachbretts soll er ein Reiskorn legen, aufs zweite zwei, dann vier, acht und so fort. Auf dem 15. Feld stünde erst eine 500-Gramm-Packung Reis, mit dem Reis auf Feld 28 ließe sich schon ein Elefant aufwiegen, mit dem auf Feld 44 ein Öltanker. Für Feld 55 wäre die jährliche Weltweizenproduktion von nöten.

Ein Schachbrett hat $8\cdot 8=64$ Felder. Es wird also 64 mal verdoppelt!

Exponentielles Wachstum verblüfft uns. Es widerspricht der Intuition. Betrachte z.B. eine Zeitungsseite als mathematisches Objekt. Wie oft kann man das Papier falten? Acht Mal? 16 Mal? Noch öfter? Probiere es aus! Oder überlege dir, was beim Falten passiert: Aus einer Lage Papier werden zwei, dann vier, dann acht Schichten. Nach zehnmaligem Falten sind es 1024 Papierlagen. Allgemeiner gesagt: Wer zehn Mal verdoppelt, hat den Anfangswert vertausendfacht. Traust du dir noch immer zu, diese Seite mehr als acht Mal zu falten?

Der Weltrekord im Falten von (Klo-)Papier liegt nur bei 13 Faltungen!

Man kann das Spiel in Gedanken noch weiter treiben: Stelle dir vor, du könntest ein Blatt Papier beliebig oft falten. Es müsste natürlich entsprechend groß sein, aber Mathematiker sehen gerne über derartige praktische Einschränkungen hinweg. Wie oft müsstest du das Blatt falten, damit der Papierstapel, sagen wir, bis zum Mond reicht, also 400.000 Kilometer hoch? Ein paar Millionen Mal? 10000 Mal? Oder nur 42 Mal? Du ahnst es schon! Zehnmaliges Falten entspricht einer Vertausendfachung der Höhe: Es liegen 1000 etwa 0,1 Millimeter dünne Papierlagen aufeinander: Der Stapel ist 10 Zentimeter hoch. Faltest du weitere zehn Mal, ist er schon 1000 mal 1000, also eine Million Mal höher als zu Beginn: 100 Meter. Und das nach nur 20-maligem Falten! Noch 20 Mal, und er wäre eine weitere Million Mal höher, sprich: 100.000 Kilometer. Du bräuchtest jetzt nur noch zwei Mal umzuschlagen, um den Mond zu erreichen.

Die Entfernung von der Erdezum Mond beträgt imDurchschnitt 384.402km

Aufgabe 1

a) Versucht eine Formel zu erstellen, mit der die Anzahl der Reiskörner auf dem $x$-ten Feld [die Dicke des Papiers nach der $x$-ten Faltung] berechnet werden kann! Tipp: Erstellt zunächst eine Wertetabelle!

b) Schaut euch danach das Video rechts an.

Video: brAlpha lernen - Exponentialfunktionen - Wachstum und Zerfall

Eine Funktion der Form $f(x)=b^x$ nennt man exponentielle Funktion oder Exponentialfunktion zur Basis $b$.

Ist die Basis $b>1$, so spricht man von exponentiellem Wachstum, ist $0<b<1$, spricht man von exponentiellem Zerfall.

Ähnlich wie bei quadratischen Funktionen oder Polynomen gibt es auch hier eine Normalform, mit deren Hilfe man Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen ablesen bzw. erzeugen kann:

$$f(x)=a\cdot b^{(x-c)}+d$$

Funktionsterme zuordnen

Aufgabe 2: Exponentialfunktion interaktiv

Versucht mit dem Geogebra-Applet unten herauszufinden:

Was passiert, wenn du die Basis $b$ veränderst?
Wofür steht der Parameter $a$?
Wofür stehen die Parameter $c$ und $d$?

Achtet auf besondere Punkte im Graphen (Nullstellen, y-Achsenabschnitte, etc) und Verschiebungen, Streckungen, Stauchungen im Vergleich zur blauen Funktion $2^x$. Notiert eure Beobachtungen.

Lösung zu Aufgabe 1

Der Parameter $a$ ist der Anfangswert (oder y-Achsenabschnitt) der Exponentialfunktion.
Der Parameter $b$ ist die Basis der Exponentialfunktion.
- Es muss $b>0$ gelten, da sonst die Funktion nicht gezeichnet werden kann.
- Gilt $0<b<1$, so spricht man von Zerfall, z.B. bei $f(x)=0.75^x$ oder $g(x)=\frac{1}{3}^x$
- Gilt $b>1$, spricht man von Wachstum, z.B. bei $h(x)=2^x$ oder $i(x)=1.17^x$.
Der Parameter $c$ ist die Verschiebung entlang der x-Achse.
Der Parameter $d$ ist die Verschiebung entlang der y-Achse.

Übung - Gleichung $\leftrightarrow$ Graph zuordnen

Tipp: Du kannst mit dem obigen GeoGebra-Applet ausprobieren, welcher Graph zu welcher Gleichung passt.

Tipp 2: Es bleibt ein Graph und eine Funktionsgleichung übrig!

Grundlagen der Exponentialfunktion