Definition "Scheitelpunktform"
Quadratische Funktionen können auch in der
Scheitelpunktform $f(x)=a \cdot (x - d)^2 + e$ angegeben werden.
Wie kann man eine Parabel verschieben?
Eine Parabel kann mit Hilfe der Parameter der Funktionsgleichung verschoben werden. Dies haben wir bereits bei der Einführung in Ansätzen gesehen. Dabei blieb jedoch noch unklar, wie wir entlang der x-Achse verschieben können. Dies werden wir nun kennen lernen.
Um diese Verschiebung zu realisieren, werden wir die Standard-Gleichung der quadratischen Funktion etwas umschreiben.
Aus $f(x)=a \cdot x^2 + e$ machen wir $f(x)=a \cdot (x-d)^2 + e$
Das ist erstmal relativ viel, wir werden die einzelnen Schritte aber langsam gehen. In dem nebenstehenden GeoGebra-Applet kannst du die Parameter bereits einmal ausprobieren. In den folgenden Videos und Übungen werden wir kleinschrittig erarbeiten, wie die Verschiebung zustande kommt.
Scheitelpunktform ausprobieren
Aufgabe 3 - Scheitelpunkt am Graphen ablesen
Zunächst eine kurze Wiederholung dazu, was der Scheitelpunkt ist und wie man ihn angibt.
Scheitelpunkt $\rightarrow$ Scheitelpunktform
Scheitelpunkt $\rightarrow$ Scheitelpunktform
Aufgabe 4 - Scheitelpunktform anhand v. Graphen ablesen
Scheitelpunkt aus Gleichung ablesen
Bei einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen. Lautet die Funktion
$$y = a(x-S_x)^2 +S_y$$
so lautet der Scheitelpunkt
$$S (S_x |S_y)$$
Der Wert des Parameters $a$ hat keinen Einfluss auf die Lage des Scheitelpunktes.
ACHTUNG: Achte auf den Vorzeichenwechsel in der $S_x$-Koordinate.
Scheitelpunkt aus Gleichung ablesen (Lehrerschmidt)
Scheitelpunkt aus Gleichung ablesen (DanielJung)
Aufgabe 5 - Quiz Scheitelpunktform
Die komplette Verschiebung d. Parabel mit der Scheitelpunktform
Wir haben gesehen, dass man den Scheitelpunkt sowohl am Graphen als auch an der Gleichung ablesen kann. Zusammenfassend ist hier noch einmal dargestellt, wie die einzelnen Parameter $a$, $d$ und $e$ die Normalparabel verschieben.
Von der Scheitelpunktform zur Normalform
Bisher haben wir die Gleichung einer Parabel in zwei verschiedenen Formen bzw. Schreibweisen kennengelernt, die Normalform und die Scheitelpunktform. Diese beiden Formen können ein und dieselbe Parabel angeben. Im Folgenden wird es darum gehen, wie die Normalform aus der Scheitelpunktform gebildet werden kann. Dafür benötigen wir die binomischen Formeln.
Umformung Scheitelpunktform $\rightarrow$ Normalform
Um die Scheitelpunktform in die Normalform umzuformen muss man die Scheitelpunktform ausmultiplizieren. Hier wird die binomische Formel angewendet. Zwei Beispiele sind die folgenden:
Scheitelpunktform in Normalform umrechnen (Daniel Jung)
Aufgabe 6 - Zuordnung Funktionsterme - Scheitelpunktform $\leftrightarrow$ Normalform
Umformung Normalform $\rightarrow$ Scheitelpunktform
Die Umformung der Normalform in die Scheitelpunktform funktioniert, anders als die Umformung in die andere Richtung nicht über bloßes Ausmultiplizieren. Hier benötigen wir die sogenannte
quadratische Ergänzung. Diese könnt ihr euch im nebenstehenden Video anschauen. Die Schritte sind dabei die folgenden:
Die Funktionsgleichung mit etwas Platz aufschreiben
quadratisch ergänzen
zu binomischer Formel zusammenfassen und die absoluten Werte zusammenrechnen
Umformung Normalform $\rightarrow$ Scheitelpunktform (Herr Mauch)
Aufgabe 7 - Umformung Normalform $\rightarrow$ Scheitelpunktform - Quadratische Ergänzung
Was ist, wenn vor dem $x^2$ eine Zahl steht? (Herr Mauch)
Aufgabe 8 - Übung Normalform $\rightarrow$ Scheitelpunktform mit Faktor vor $x^2$
Bearbeite die Aufgaben
7 c) - f) unter folgendem Link:
Aufgaben (serlo.org)
Aufgabe 9 - Zusammenfassung d. Umformungen
