Definition "faktorisierte Form" bzw. "Linearfaktorzerlegung"
Quadratische Funktionen können auch in der faktorisierten Form $f(x)=a \cdot (x - x_1)\cdot(x-x_2)$ angegeben werden.
- Der Parameter $a$ heißt Streckfaktor von $f$ und ist identisch mit dem Streckfaktor der Normalform.
- Die Parabel hat die beiden Nullstellen $x_1$ und $x_2$ (Fig. 5).
- Hat die Parabel nur eine Nullstelle $x_1$, so kann die faktorisierte Form als $f(x)=a\cdot(x-x_1)^2$ angegeben werden (Die Nullstelle ist identisch mit der x-Koordinate des Scheitelpunkts, Fig. 6).
- Hat die Parabel keine Nullstellen, so kann die Funktion nicht in der faktorisierten Form angegeben werden.
Fig. 5: Parabel mit 2 Nullstellen
Fig. 6: Parabel mit 1 Nullstelle
Nullstellen bestimmen
- Die Nullstellen einer quadratische Funktionen in der faktorisierten Form $f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$ können einfach abgelesen werden.
- $x_1$ und $x_2$ sind die Nullstellen
- Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in der Normalform $f(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ können mit der abc-Formel berechnet werden:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
- Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in der reduzierten Normalform $f(x)=x^2 + p \cdot x + q$ (Normalform mit Parameter $a=1$, $p=b$, $q=c$) können mit der pq-Formel berechnet werden:
$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$$
pq-Formel-Song (Dorfuchs)