Auf dieser Seite befindet sich eine Auswahl an Aufgaben zur Satzgruppe Pythagoras. Die Lösungen jeweils direkt hinterlegt, bitte verwendet sie in sinnvoller Art und Weise.
Berechne die fehlenden Größen für ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c.
| $a$ | $b$ | $c$ | $p$ | $q$ | $h_c$ | $A$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a) | $4cm$ | $1cm$ | |||||
| b) | $9cm$ | $3cm$ | |||||
| c) | $7cm$ | $10cm$ | |||||
| d) | $3cm$ | $5cm$ | $20cm^2$ | ||||
| e) | $2cm$ | $4cm$ | |||||
| f) | $4cm$ | $6cm$ | |||||
| g) | $5cm$ | $11cm$ | $30cm^2$ |
| $a$ | $b$ | $c$ | $p$ | $q$ | $h_c$ | $A$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a) | $4cm$ | $4 \sqrt{15}cm$ | $16cm$ | $1cm$ | $15cm$ | $\sqrt{15}cm$ | $8 \sqrt{15}cm^2$ |
| b) | $3\sqrt{3}cm$ | $3 \sqrt{6}cm$ | $9cm$ | $3cm$ | $6cm$ | $3 \sqrt{2}cm$ | $\frac{27 \sqrt{2}}{2}cm^2$ |
| c) | $7cm$ | $\sqrt{51}cm$ | $10cm$ | $4,9cm$ | $5,1cm$ | $\frac{7 \sqrt{51}}{10}cm$ | ca. $25cm^2$ |
| d) | $4 \sqrt{6}cm$ | ca. $7,19cm$ | $8cm$ | $3cm$ | $5cm$ | $\sqrt{15}cm$ | $20cm^2$ |
| e) | $2 \sqrt{5}cm$ | $4 \sqrt{5}cm$ | $10cm$ | $2cm$ | $8cm$ | $4cm$ | $20cm^2$ |
| f) | $2\sqrt{10}cm$ | $2 \sqrt{15}cm$ | $10cm$ | $4cm$ | $6cm$ | $2 \sqrt{6}cm$ | $10\sqrt{6} cm$ |
| g) | $\sqrt{146}cm$ | $\frac{11 \sqrt{146}}{5}cm$ | $29,2cm$ | $5cm$ | $24,2cm$ | $11cm$ | $30cm^2$ |
Berechne Umfang und Flächeninhalt des Rechtecks.
- Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a = 6cm$. Berechne die Diagonalenlänge $d$.
- Stelle den Term d(a) auf, mit dem man allgemein in einem Quadrat aus der Seitenlänge a die Diagonalenlänge d berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.
\begin{align} 6^2 + 6^2 &= d^2 &| T \\ 72 &= d^2 &| \sqrt{}\\ \pm \sqrt{72} &= d \end{align}
Die Diagonalenlänge beträgt $6\sqrt{2}cm \approx 8,5cm$. Das negative Ergebnis braucht hier nicht beachtet werden, da keine negativen Längen definiert sind.
2. $a$: Seitenlänge; $d$: Diagonalenlänge
\begin{align} a^2 + a^2 &= d^2 &| T \\ 2a^2 &= d^2 &| \sqrt{}\\ \sqrt{2a^2} &= d &| T \\ a \sqrt{2} &= d \end{align}
Der Term lautet $d(a) = a\sqrt{2}$
- Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a = 6cm$ und $b = 3cm$. Berechne die Diagonalenlänge $d$.
- Stelle den Term auf, mit dem man allgemein in einem Rechteck aus den Seitenlängen $a$ und $b$ die Diagonalenlänge $d$ berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.
\begin{align} 6^2 + 3^2 &= d^2 &| T \\ 45 &= d^2 &| \sqrt{}\\ \pm \sqrt{45} &= d &| T \pm 3\sqrt{5} &= d \end{align}
Die Diagonalenlänge beträgt $3\sqrt{5}cm \approx 6,7cm$. Das negative Ergebnis braucht hier nicht beachtet werden, da keine negativen Längen definiert sind.
2. $a, b$: Seitenlängen; $d$: Diagonalenlänge
\begin{align} a^2 + b^2 &= d^2 &| \sqrt{}\\ \sqrt{a^2 + b^2} &= d \\ \end{align}
Der Term lautet $d = \sqrt{a^2 + b^2}$
In einem Glockenturm hängt das Seil zum Läuten der Glocke. Wenn man das Ende des Seils um 2m seitlich aus der Ruhelage bewegt, so hebt sich das Seilende dabei um 10cm. Berechne die Länge des Glockenseils.
1. $d$ Diagonalenlänge in $cm$
$l$: Länge des Seils in $m$ \begin{align} \require{cancel} (l - 0,1)^2 + 2^2 &= l^2 &| T \\ \cancel{l^2} - 0,2l + 0,01 + 4 &= \cancel{l^2} &| -l^2\\ - 0,2l + 4,01 &= 0 &| +0,2l \\ + 4,01 &= 0,2l &| \cdot 5 \\ 20,05 &= l \end{align}
In einer Kugelschale mit dem Radius $R = 1,8m$ hat der Flüssigkeitsspiegel den Durchmesser $s = \sqrt{5,12}m$. Berechne die Flüssigkeitstiefe $t$.
$t$ Diagonalenlänge in $cm$
$l$: Länge des Seils in $m$ \begin{align} \require{cancel} (\frac{1}{2} \sqrt{5,12m})^2 + (1,8m-t)^2 &= (1,8m)^2 &| T \\ \frac{1}{4} \cdot 5,12m ˙\cancel{+1,8m^2} - 3,6tm + t^2 &= \cancel{1,8m^2} &| -l^2\\ 1,28m - 3,6tm + t^2 &= 0 &| pq-Formel \\ \\ t_1 = 0,4m \\ t_2 = 3,2m \end{align}
Da $3,2m$ als Wassertiefe zu tief ist, da dies mehr als $R$ ist, muss die Wassertiefe $0,4m$ sein.
Wie weit ragt ein $20cm$ langer Strohhalm mindestens aus der Dose, wenn diese $11cm$ hoch ist und einen Durchmesser von $6cm$ hat?
$l$: Länge des Strohhalms in der Dose in $cm$ \begin{align} 6^2 + 11^2 &= l^2 &| T \\ 157 &= l^2 &| \sqrt{} \\ \pm \sqrt{157} &= l \end{align}
Die Länge des Strohhalms in der Dose beträgt $\sqrt{157} \approx 12,5cm$, also ragen mindestens ca. $7,5cm$ des Strohhalms aus der Dose.
Die steilste Zahnradbahn der Welt fährt auf den Pilatus (Schweiz). Auf einem Streckenabschnitt von 1130m Länge überwindet sie gleichmäßig einen Höhenunterschied von 489m.
- In einer Landkarte sind im Normalfall die horizontalen Abstände von Orten maßstabsgetreu abgebildet. Wie lang erscheint dieser Streckenabschnitt auf einer Karte im Maßstab 1:25000?
- Eine andere Zahnradbahnstrecke erscheint auf einer Karte im Maßstab 1:10000 12cm lang. Die wirkliche Streckenlänge beträgt 1250m. Wie groß ist der Höhenunterschied?
\begin{align} x^2 + 489^2 &= 1130^2 &| -489^2 \\ x^2 &= 1037779 &| \sqrt{} \\ x &= \pm \sqrt{1037779} \end{align}
Der horizontale Abstand beträgt in der Wirklichkeit $1037779m \approx 1019m$ und auf einer Karte im Maßstab $1:25000$ ca. $4,1cm$.
2. Horizontaler Abstand
$h$: Höhenunterschied in $m$
\begin{align} h^2 + 1200^2 &= 1250^2 &| -1200^2 \\ h^2 &= 122500 &| \sqrt{} \\ h &= \pm \sqrt{122500} \end{align}
Der Höhenunterschied beträgt $350m$.