Die Volumina und Oberflächen sehr vieler verschiedener Körper können berechnet werden, indem man die Körper in einzelne Prismen zerlegt oder sie durch passende Prismen zu einem einfacheren Prisma ergänzt.
So kann man z.B. das Volumen der Kirche rechts berechnen, indem man sie in einzelne Prismen zerlegt, und das Volumen des L-förmigen Körpers, indem man ihn zu einem Quader ergänzt.
Die Kirche oben besteht wie rechts gezeigt ist aus den zwei Quadern $\color{red}{Quader1}$ und $\color{lightblue}{Quader2}$ und den beiden Dreiecks-Prismen $\color{green}{Dreieck1}$ und $\color{orange}{Dreieck2}$.
Dementsprechend kann ihr Volumen folgendermaßen berechnet werden:
$$V_{Kirche}=\color{red}{V_{Quader1}}+\color{lightblue}{V_{Quader2}}+\color{green}{V_{Dreieck1}}+\color{orange}{V_{Dreieck2}}$$
Nun benötigen wir nur noch die Maße der vier Prismen:
| Körper | Maße |
|---|---|
| $\color{red}{Quader1}$ | Länge: $l = 25m$, Breite: $b = 10m$, Höhe: $h = 15m$ |
| $\color{lightblue}{Quader2}$ | Länge: $l = 4m$, Breite: $b = 4m$, Höhe: $h = 27m$ |
| $\color{green}{Dreieck1}$ | Grundseite Dreieck: $c = 10m$, Höhe Dreieck: $h_c = 6m$, Länge: $l = 25m$ |
| $\color{orange}{Dreieck2}$ | Grundseite Dreieck: $c = 4m$, Höhe Dreieck: $h_c = 4m$, Länge: $l = 4m$ |
Nun können wir die einzelnen Volumina berechnen:
| Volumen |
|---|
| $\color{red}{V_{Quader1}}=l\cdot b\cdot h=25m\cdot10m\cdot15m=3750m^3$ |
| $\color{lightblue}{V_{Quader2}}=l\cdot b\cdot h=4m\cdot4m\cdot27m=432m^3$ |
| $\color{green}{V_{Dreieck1}}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c\cdot l=\frac{1}{2}\cdot10m\cdot6m\cdot25m=750m^3$ |
| $\color{orange}{V_{Dreieck2}}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c\cdot l=\frac{1}{2}\cdot4m\cdot4m\cdot4m=32m^3$ |
Mit der Formel vom Anfang können wir nun das Volumen der gesamten Kirche berechnen: $$V_{Kirche}=\color{red}{V_{Quader1}}+\color{lightblue}{V_{Quader2}}+\color{green}{V_{Dreieck1}}+\color{orange}{V_{Dreieck2}}=3750m^3+432m^3+750m^3+32m^3=4964m^3$$
Den L-förmigen Körper $\color{red}{L}$ kann man durch einen Quader $\color{blue}{Quader1}$ zu einem größeren Quader $\color{green}{Quader2}$ ergänzen.
Das Volumen des ursprünglichen Körpers kann man dann folgendermaßen berechnen:
$$V_{\color{red}{L}}=V_{\color{green}{Quader2}}-V_{\color{blue}{Quader1}}$$
Nun fehlen nur noch die Maße der beiden Quader, um die jeweiligen Volumina ausrechnen zu können:
| Quader | Maße | Volumen |
|---|---|---|
| $\color{blue}{Quader1}$ | Länge: $l=20cm$, Breite: $b=14cm$, Höhe: $h=14cm$ | $V_{\color{blue}{Quader1}}=l\cdot b\cdot h=20cm\cdot14cm\cdot14cm=3920cm^3$ |
| $\color{green}{Quader2}$ | Länge: $l=20cm$, Breite: $b=20cm$, Höhe: $h=20cm$ | $V_{\color{green}{Quader2}}=l\cdot b\cdot h=20cm\cdot20cm\cdot20cm=8000cm^3$ |
Als Volumen des L-förmigen Körpers ergibt sich somit:
$$V_{\color{red}{L}}=V_{\color{green}{Quader2}}-V_{\color{blue}{Quader1}}=8000cm^3-3920cm^3=4080cm^3$$
Der Oberflächeninhalt besteht aus der Summe aller äußeren Einzelflächen (also diejenigen Flächen der Teilprismen, die nicht im Inneren des Körpers "versteckt" sind).
- Übernimm den Merksatz oben ins Heft.
- Bearbeite danach im Buch S. 151 Nr. 1 & 6, S. 152 Nr. 7, 8, 11