Proportionale Funktionen - Anwendungsaufgabe Tankstelle

An einer Tankstelle tanken nacheinander mehrere Autofahrer verschiedenen Mengen Benzin. Die folge n- de Wertetabelle zeigt die Preise, die die Autofahrer jeweils bezahlen mussten:

Benzinmenge $M$ in $l$ $20$ $35$ $45$ $50$ $75$
Preis $P$ in $€$ $21,05$ $36,89$ $47,43$ $52,70$ $79,05$
  1. Erstelle ein Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs der Benzinmenge $M$ und dem Preis $P$. Dabei soll die Benzinmenge auf der x-Achse, und der Preis auf der y-Achse, aufgetragen werden.
  2. Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.
  3. Bestimme den Proportionalitätsfaktor bzw. die Steigung $m$ dieser Proportionalen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Benzinmenge und dem Preis.
  4. Gib den Funktionsterm dieser Proportionalen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare die Funktionsgleichung erfüllen.
  5. Zeichne den Graphen dieser Proportionalen Funktion in das gezeichnete Koordinatensystem.
  6. Berechne den Preis für 65l Benzin. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.
  7. Berechne die Benzinmenge bei einem Preis von 57,97€. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen.

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Dr. Martin Lehmann-Greif (2009)
  1. Zur Skalierung der x-Achse wurde als Einheit $10l$ gewählt. Es können auch andere Einheiten gewählt werden z.B. $1l$, $5l$ oder andere. Zur Skalierung der y-Achse wurde als Einheit $10€$ gewählt. Es können auch andere Einheiten gewählt werden, z.B. $1€$, $5€$ oder andere.
  2. s.o.
  3. $m = \frac{21,08€}{20l} = \frac{36,89€}{35l}=\frac{47,43€}{45l}=\frac{52,70€}{50l}=\frac{79,05€}{70l}= 1,054\frac{€}{l}$
  4. $f(x) = 1,054 \frac{€}{l} \cdot x$
    (Hier kann alternativ auch $P(M) = …$, $p(x) = … oder $y = …$ als Beginn des Funktionsterms stehen.); alle Wertepaare erfüllen die Funktionsgleichung
  5. s.o.
  6. zu berechnen ist $f(65l)$:
    $\require{cancel} f(65l) = 1,054 \frac{€}{\cancel{l}} \cdot 65 \cancel{l} = 68,51€$
    Wenn man $65l$ Benzin tankt, muss man $68,51€$ bezahlen.
  7. Zu lösen ist die Gleichung $f(x) = 57,97€$:
    $\require{cancel} 1,054 \frac{€}{l} \cdot x = 57,97€ \Leftrightarrow x = \frac{57,97€}{1,054 \frac{€}{l}} \Leftrightarrow x = \frac{57,97}{1,054} \cdot \cancel{€} \cdot \frac{l}{\cancel{€}} \Leftrightarrow x = 55l$
    Bei einem Preis von $57,97€$ hat man $55l$ getankt.

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Quellenverzeichnis: