Proportionale Funktionen - Anwendungsaufgabe Autobahnfahrt

Während einer Autobahnfahrt liest der Beifahrer zu unterschiedlichen Zeitpunkten auf seiner Uhr die Fahrzeit und auf dem Tageskilometerzähler, der beim Start der Fahrt auf Null gestellt wurde, die zurück- gelegte Strecke ab. Die folgende Wertetabelle zeigt die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Fahrzeit:

Fahrzeit $t$ in $h$ $\frac{1}{2}$ $1$ $1 \frac{1}{2}$ $2$ $3$ $5$
zurückgelegte Strecke $s$ in $km$ $55$ $110$ $165$ $220$ $330$ $550$
  1. Erstelle ein Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Fahrzeit $t$ und der zurückgelegten Strecke $s$. Dabei soll die Fahrzeit auf x-Achse, und die zurückgelegte Strecke auf der y-Achse, aufgetragen werden.
  2. Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.
  3. Bestimme den Proportionalitätsfaktor bzw. die Steigung $m$ dieser Proportionalen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Fahrzeit und der zurückgelegten Strecke.
  4. Gib den Funktionsterm dieser Proportionalen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaa- re die Funktionsgleichung erfüllen.
  5. Zeichne den Graphen dieser Proportionalen Funktion in das bereits gezeichnete Koordinatensystem.
  6. Berechne die zurückgelegte Strecke für eine Fahrzeit von 4h 15min . Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.
  7. Berechne die Fahrzeit bei einer zurückgelegten Strecke von 412,5km . Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen.

++++ Lösungen|

Dr. Martin Lehmann-Greif (2009)
  1. Zur Skalierung der x-Achse wurde als Einheit $0,5h$ gewählt. Es können auch andere Einheiten gewählt werden z.B. $1h$ oder andere. Zur Skalierung der y-Achse wurde als Einheit $55km$ gewählt. Es können auch andere Einheiten gewählt werden, z.B. $110km$ oder andere.
  2. s.o.
  3. $m = \frac{55km}{\frac{1}{2}h} = \frac{110km}{1h}=\frac{165km}{1 \frac{1}{2}h}=\frac{220km}{2h}=\frac{330km}{3h}=\frac{550km}{5h} = 110\frac{km}{h}$
  4. $f(t) = 110 \frac{km}{h} \cdot t$
    (Hier kann alternativ auch $f(x) = …$, $v(t) = … oder $y = …$ als Beginn des Funktionsterms stehen.); alle Wertepaare erfüllen die Funktionsgleichung
  5. s.o.
  6. zu berechnen ist $f(4\frac{1}{4}h)$:
    $\require{cancel} f(4\frac{1}{4}h) = 110\frac{km}{\cancel{h}} \cdot 4\frac{1}{4} \cancel{h} = 467,5 km$
    Die nach $4\frac{1}{4}h$ zurückgelegte Strecke beträgt $467,5 km$.
  7. Zu lösen ist die Gleichung $f(t) = 412,5 km$:
    $\require{cancel} 110 \frac{km}{h} \cdot t = 412,5 km \Leftrightarrow t = \frac{412,5 km}{110 \frac{km}{h}} \Leftrightarrow t = \frac{412,5 km}{110} \cdot \cancel{km} \cdot \frac{h}{\cancel{km}} \Leftrightarrow t = 3,75h$
    Für eine Strecke von $412,5km$ benötigt man $3h45min$.

++++

Quellenverzeichnis: