Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe - Infusion

In einer Klinik wird ein Patient "an den Tropf gelegt", d.h. ihm wird aus einer Infusionsflasche eine Kochsalzlösung sehr langsam in die Blutbahn eingeträufelt. Die computergesteuerte Messung des Flascheninhalts zu verschiedenen Zeitpunkten ergab die folgende Wertetabelle:

1. Erstelle ein Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Zeit t und dem Flascheninhalt I. Dabei soll die geflogene Strecke auf der x-Achse und die noch vorhandene Treibstoffmenge auf der y-Achse aufgetragen werden.
2. Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.
3. Bestimme den Steigungsfaktor dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt.
4. Bestimme den y-Achsenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt.
5. Gib den Funktionsterm dieser Linearen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare die Funktionsgleichung erfüllen.
6. Zeichne den Graphen dieser Linearen Funktion in das Koordinatensystem.
7. Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt.
8. Berechne den Flascheninhalt nach einer Zeit von 75min. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen.
9. Berechne die Zeit, nach der der Flascheninhalt $320cm^3$ beträgt. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen.

Lösungen

— Yannik Wehr 2020/06/01 20:53

Teil 1., 2. und 6.

siehe Abbildung

Teil 3.

Bestimmung Steigungsfaktors v mit Hilfe der Punkte $(30min|950cm^3)$ und $(60min|750cm^3)$: \begin{align} m &= \frac{750 cm^3 - 950 cm^3}{60min - 30min} \\ m &= \frac{-200 cm^3}{30min} = - 6 \frac{2}{3} \frac{cm^3}{min} \end{align}

Erläuterung: Von der Kochsalzlösung werden pro Minute ca. $6,7 cm^3$ abgegeben.

Teil 4.

Bestimmung des y-Achsenabschnitts $b$

Funktionsgleichung: $f(t) = - 6 \frac{2}{3} \frac{cm^3}{min} \cdot t + b$

Einsetzen der Koordinaten eines Punktes des Graphen (z.B. $(30 min|950 cm^3)$) in die Funktionsgleichung:

\begin{align} 950cm^3 &= - 6 \frac{2}{3} \frac{cm^3}{min} \cdot 30 min + b &| T \\ 950cm^3 &= - 200cm^3 + b &| +200cm^3 \\ 1150cm^3 &= b \end{align}

Erläuterung: Zu Beginn waren $1550 cm^3$ in der Infusionsflasche.

Teil 5.

$f(t) = - 6 \frac{2}{3} \frac{cm^3}{min} \cdot t + 1150cm^3$

Teil 7.

\begin{align} f(t) &= 0 \\ 0 &= - 6 \frac{2}{3} \frac{cm^3}{min} \cdot t + 1150cm^3 \\ t &= 172,5min \end{align}

Nach $172,5 min$ ist die Infusionsflasche leer.

Teil 8.

$f(75min) = 650cm^3$

Teil 9.

\begin{align} f(t) &= 320cm^3 \\ 320cm^3 &= - 6 \frac{2}{3} \frac{cm^3}{min} \cdot t + 1150cm^3 \\ t &= 124,5 min \end{align}

Quellenverzeichnis:

• Aufgabe: Thomas Unkelbach (2003) (http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/lf/lf_aa04.PDF (24.05.2020))

— Yannik Wehr 2020/05/24 16:34