Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe - Fallschirmsprung
Ein Fallschirmspringer öffnet seinen Fallschirm und misst mit Hilfe eines Höhenmessers zu verschiedenen Zeitpunkten nach dem Öffnen des Schirms seine Höhe über dem Erdboden. Die Messung ergab die folgende Wertetabelle:
| Fallzeit t in s | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| Höhe h in m | 232,5 | 210,0 | 187,5 | 165,0 | 142,5 |
Aufgaben
- Erstelle ein Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Fallzeit t und der Höhe h. Dabei soll die Fallzeit auf der x-Achse und die Höhe auf der y-Achse aufgetragen werden.
- Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.
- Bestimme den Steigungsfaktor dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Fallzeit und der Höhe.
- Bestimme den y-Achsenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Fallzeit und der Höhe.
- Gib den Funktionsterm dieser Linearen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare die Funktionsgleichung erfüllen.
- Zeichne den Graphen dieser Linearen Funktion in das Koordinatensystem.
- Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Fallzeit und der Höhe.
- Berechne die Höhe des Fallschirmspringers über dem Erdboden nach einer Fallzeit von 33s. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen.
- Berechne die Fallzeit, nach der der Fallschirmspringer eine Höhe von 100m über dem Erdboden hat. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen.
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| Quelle: CC-SA-NC Stefan Thul(2008) http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/lf/lf_aa02.PDF (01.06.2020) |
Teil 1., 2. und 6.
siehe Abbildung
Teil 3.
Bestimmung Steigungsfaktors v mit Hilfe der Punkte $(10s|210m)$ und $(20s|165m)$: \begin{align} v &= \frac{165m - 210m}{20 s - 10 s} \\ v &= -4,5 \frac{m}{s} \end{align}
Erläuterung: Die Höhe des Fallschirmspringers nimmt pro Sekunde um $4,5m$ ab.
Teil 4.
Bestimmung des y-Achsenabschnitts $b$
Einfache Methode:
Die Höhe verringert sich pro $5s$ Fallzeit um $22,5m$, sodass für die Höhe zur Zeit $0s$ gelten muss: $b = 232,5m + 22,5m = 255m$.
Standardmethode:
Funktionsgleichung: $f(t) = -4,5 \frac{m}{s} \cdot t + b$
Einsetzen der Koordinaten eines Punktes des Graphen (z.B. $(10sec|210m)$) in die Funktionsgleichung:
\begin{align} 210m &= -4,5 \frac{m}{s} \cdot 10s + b &| T \\ 210m &= -45m + b &| -45m \\ 255m &= b \end{align}
Erläuterung: Der Fallschirm wurde in einer Höhe von $255m$ geöffnet.
Teil 5.
$f(t) = -4,5 \frac{m}{s} \cdot t + 255m
Teil 7.
\begin{align} f(t) &= 0 \\ 0 &= -4,5 \frac{m}{s} \cdot t + 255m \\ t &= 56 \frac{2}{3} s \end{align}
Der Springer erreicht nach rund 57,7sec den Erdboden.
Teil 8.
$f(33s) = 106,5m$
Teil 9.
\begin{align} h(t) &= 100m \\ t &= 34,4s \end{align}
Nach etwa $34,4s$ hat der Springer eine Höhe von $100m$ über dem Erdboden.
Quellenverzeichnis:
- Aufgabe: Thomas Unkelbach (2008) (http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/lf/lf_aa02.PDF (24.05.2020))
- Lösungen: Stefan Thul (2008) (http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/lf/lf_aa02.PDF (24.05.2020))
— Yannik Wehr 2020/05/24 16:13