Das Binärsystem - An/Aus

Das Dezimalsystem kennt ihr bereits seit der Grundschule. Mit ihm habt ihr rechnen gelernt. Wir wiederholen trotzdem die wichtigsten Konzepte, da diese auch in den anderen Zahlensystemen Anwendung finden. Das Dezimalsystem besteht aus den 10 verschiedenen Ziffern $\mathbb{Z}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ und ist ebenso wie die anderen Zahlensysteme ein sogenanntes Stellenwertsystem. Das bedeutet, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Zahl abhängig ist. Da wir 10 verschiedene Ziffern haben, sagen wir außerdem, dass die Basis des Dezimalsystems $\mathbb{B}=10$ ist.

Beispiele: $1234567890$, $999$, $543354$.

In der Informatik spielt das Binärsystem die wichtigste Rolle. Jede Information, die auf Computern gespeichert, verarbeitet, versendet oder empfangen wird, ist im Binärsystem codiert. Das liegt daran, dass Computer nur die beiden Zustände 1 und 0 kennen. Meist wird das durch Vorhandensein (1) oder Abwesenheit (0) von elektrischer Spannung dargestellt. Bei Glasfaserkabeln analog dazu durch Licht an (1) oder Licht aus (0).

Im Binärsystem haben wir also nur die beiden Ziffern $\mathbb{Z}=\{0,1\}$ und die Basis $\mathbb{B}=2$. Da wir die Zahl als Binärzahl hervorheben wollen, stellen wir die Basis $\mathbb{B}=2$ als Index nach.

Beispiele: $1101101_2$, $1011111_2$, $1100111000_2$.

Betrachten wir z.B. die Zahl $128_{10}$. Aus der Grundschule wissen wir, dass sie aus $1$ Hunderter, $2$ Zehnern und $8$ Einern zusammengesetzt ist. Das verdeutlicht auch diese Tabelle:

In der dritten Zeile der Tabelle begegnen uns die Potenzen $10^2$, $10^1$ und $10^0$, was den Hundertern, Zehnern und Einern entspricht. Die Exponenten dieser Potenzen entsprechen außerdem der Position der Ziffer innerhalb der Zahl.

Beachte, dass man in Stellenwertsystemen der hintersten Ziffer die niedrigste Stelle zuweist, der vordersten die höchste. Außerdem fängt man bei 0 an zu zählen!

Somit ergibt sich die folgende (beim Dezimalsystem zugegebenermaßen noch recht unnütze) Rechnung:

$$\begin{array}{lclclcl} 128_{10} &=& 1\cdot 10^2 &+& 2\cdot 10^1 &+& 8\cdot 10^0\\ &=& 1\cdot 100 &+& 2\cdot 10 &+& 8\cdot 1\\ &=& 100 &+& 20 &+& 8\\ &=& 128_{10} \end{array}$$

Dieses Schema wird uns auch in den anderen Zahlensystemen sehr nützlich sein!

Betrachten wir z.B. die Zahl $1101_2$. Analog zum Dezimalsystem können wir die folgende Tabelle aufstellen:

Wenn wir die Binärzahl $1101_2$ nun in das Dezimalsystem umrechnen wollen, so ergibt sich die folgende Rechnung:

$$\begin{array}{lclclclcl} 1101_2 &=& 1\cdot2^3 &+& 1\cdot2^2 &+& 0\cdot2^1 &+& 1\cdot2^0\\ &=& 1\cdot8 &+& 1\cdot4 &+& 0\cdot2 &+& 1\cdot1\\ &=& 8 &+& 4 &+& 0 &+& 1\\ &=& 13_{10} \end{array}$$

Das bedeutet, dass die Binärzahl $1101_2$ umgerechnet ins Dezimalsystem der Dezimalzahl $13_{10}$ entspricht!

Etwas rechenaufwändiger wird es, wenn wir Zahlen vom Dezimalsystem ins Binärsystem umrechnen wollen. Hierzu verwenden wir das folgende Schema. Betrachten wir z.B. die Zahl $317_{10}$. Diese teilen wir so lange durch $2$, bis wir bei $0$ ankommen. Wir notieren uns in jedem Schritt die Reste.

$$\begin{array}{cccccc} 317 &:& 2 &=& 158 &R& 1\\ 158 &:& 2 &=& 79 &R& 0\\ 79 &:& 2 &=& 39 &R& 1\\ 39 &:& 2 &=& 19 &R& 1\\ 19 &:& 2 &=& 9 &R& 1\\ 9 &:& 2 &=& 4 &R& 1\\ 4 &:& 2 &=& 2 &R& 0\\ 2 &:& 2 &=& 1 &R& 0\\ 1 &:& 2 &=& 0 &R& 1\\ \end{array}$$

Die "Reste" ergeben - von unten nach oben gelesen - die gesuchte Binärzahl:

$$317_{10} = 100111101_2$$